L’ensemble des nombres entiers est une collection de tous les nombres positifs et négatifs. Dans cet article, nous parlerons des propriétés de ces nombres, de leur représentation sur la droite numérique, des opérations que vous pouvez faire avec eux, et bien plus encore.
Que sont les nombres entiers ?
Les nombres entiers sont tous des nombres naturels et négatifs , pas des décimaux. Par conséquent, en mathématiques, l’ensemble des nombres entiers est l’ensemble de tous les nombres naturels plus l’ensemble des nombres négatifs et le nombre zéro . Cet ensemble est, à son tour, une sous-catégorie de l’ensemble des nombres rationnels .
Les nombres entiers sont les nombres naturels plus les nombres négatifs. Par conséquent, les entiers comprennent l’intervalle suivant : {-∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, ∞}. Par conséquent, il est d’une importance vitale de bien comprendre l’ensemble des nombres naturels et leurs inverses (les négatifs) , afin de comprendre les nombres entiers.
Sous-ensembles de nombres Z
De ce que nous avons expliqué jusqu’ici, nous pouvons déduire qu’il existe deux types d’entiers : les entiers positifs (naturels) et les entiers négatifs (négatifs). Ces deux ensembles de nombres sont appelés sous-ensembles d’entiers.
Cependant, nous pouvons également élever d’autres sous-ensembles, tels que les nombres pairs et impairs, et les nombres premiers et composés. Car la théorie des ensembles appliquée à l’arithmétique nous permet de regrouper les nombres par toute propriété mathématique qui les décrit.
Exemples d’entiers
Pour clarifier un peu ce qu’est un entier, voici quelques exemples dans l’ordre :
-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Comme vous pouvez le voir, ce sont les huit premiers nombres positifs (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), zéro et les inverses des nombres naturels précédents. Évidemment, ces dix-sept exemples ne sont qu’une partie de l’ensemble. Mais, à partir de ce petit groupe de valeurs, vous pouvez conceptualiser n’importe quel entier.
Caractéristiques de l’ensemble des entiers
Cet ensemble numérique a un certain nombre de caractéristiques :
- Il est infini, puisqu’il est composé de deux ensembles numériques infinis (les nombres naturels et les négatifs).
- Toutes les valeurs de cet ensemble sont signées : positives (+) ou négatives (-), sauf zéro.
- Ils ont un certain ordre : les nombres négatifs sont inférieurs à zéro et les nombres positifs sont supérieurs à zéro : Négatifs < 0 < Positifs.
- Tous les nombres entiers sont rationnels, mais ils ne sont pas fractionnaires.
- Pour tout entier positif, il existe un entier négatif égal, mais de signe opposé.
Représentation des nombres entiers
Dans la section précédente, nous avons commenté l’ordre des nombres entiers. Mais, pour y voir encore plus clair, nous allons vous montrer représenté sur la droite numérique .
Comme vous pouvez le voir, cette droite numérique est la combinaison des droites numériques des nombres naturels et des nombres négatifs. En bref, les nombres négatifs avec la plus grande valeur absolue sont ceux qui vont le plus à gauche (le plus petit). Alors que les nombres positifs avec la plus grande valeur absolue sont ceux qui vont le plus à droite (le plus grand).
Propriétés des entiers
Avant d’apprendre à faire des opérations avec des nombres entiers, il est très important de connaître une série de propriétés . De cette façon, nous pouvons opérer facilement et sans faire d’erreurs.
Nous vous montrons ces propriétés dans cette liste:
- Commutatif : Outre l’addition et la multiplication de deux valeurs entières, l’ordre des facteurs n’a pas d’importance. Donc, pour tous les entiers a et b :
une + b = b + une
une b = b une
- Associatif : Outre l’addition et la multiplication de trois valeurs entières ou plus, l’ordre des facteurs n’a pas d’importance. Par conséquent, pour tous les entiers a, b et c.
une + (b + c) = (a + b) + c
une · (b · c) = (une · b) · c
- Distributif : multiplier un nombre par une somme équivaut à prendre un diviseur commun :
une (b + c) = une b + une c
- Élément neutre : il y a deux nombres qui lorsqu’ils participent à une opération avec des entiers ne modifient pas la valeur initiale. Pour la multiplication c’est 1 et pour l’addition c’est 0.
un 1 = un
à + 0 = à
- Valeur absolue : tout entier négatif a un entier positif identique, mais sans le signe. Ceci s’applique également aux entiers positifs, mais la valeur absolue d’un positif est elle-même positive.
|-a| = à
|a| = à
Si vous souhaitez en savoir plus sur ces propriétés, nous vous recommandons de jeter un œil à notre article sur lespropriétés mathématiques des opérations .
Opérations avec des nombres entiers
Vous connaissez maintenant les caractéristiques de l’ensemble Z (entier), quel est son ordre et les propriétés de cet ensemble pour résoudre des opérations. Par conséquent, nous pouvons déjà parler des opérations elles-mêmes.
- L’addition d’entiers : si on additionne deux entiers de même signe, on additionne simplement leurs valeurs absolues et on ajoute le signe devant. Alors que, si nous additionnons un positif et un négatif, nous devons soustraire leurs valeurs absolues et écrire le signe de l’entier avec la plus grande valeur absolue :
4 + 5 = 9
(-4) + (-5) = -9
4 + (-5) = -1
- La soustraction d’entiers : lorsque l’on soustrait deux entiers, il faut appliquer la loi des signes . Puisqu’il nous permet de simplifier les soustractions qui ont plus d’un signe à la suite. Et donc nous les convertissons en sommes, que nous savons déjà résoudre (expliqué dans la section précédente). Le tableau suivant explique la loi des signes :
(+) · (+) = (+)
(+) · (-) = (-)
(-) · (+) = (-)
(-) · (-) = (+)
Ensuite, nous présentons tous les cas que nous pouvons trouver :
4 – 5 = 4 + (-5) = -1
5 – 4 = 5 + (-4) = 1
(-4) – 5 = (-4) + (-5) = -9
4 – (-5) = 4 + 5 = 9
(-4) – (-5) = (-4) + 5 = 1
(-5) – (-4) = (-5) + 4 = -1
- Multiplication d’entiers : Pour résoudre des multiplications d’entiers, il suffit de multiplier les valeurs absolues. Et puis, ajoutez le signe correspondant, grâce à la loi des signes, qui est expliquée ci-dessus. Maintenant nous vous montrons les quatre cas qui existent de multiplications :
4 5 = 20
(-4) 5 = -20
4 · (-5) = -20
(-4) · (-5) = 20
- La division des nombres entiers : enfin, nous avons les divisions, pour les résoudre il faut faire le quotient des valeurs absolues et ajouter le signe, basé sur la loi des signes. Ensuite, nous vous montrons les quatre cas que vous pouvez trouver :
20 ÷ 5 = 4
(-20) ÷ 5 = -4
20 ÷ (-5) = -4
(-20) ÷ (-5) = 4
Comment l’ensemble des nombres entiers est-il utilisé dans la vie quotidienne ?
L’ensemble des nombres entiers est utilisé dans la vie quotidienne de plusieurs façons. Par exemple, lorsque vous essayez de mesurer quelque chose , des nombres entiers sont généralement utilisés, en particulier des nombres entiers positifs.
Ils sont également utilisés pour effectuer des calculs mathématiques de base , tels que l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Cela s’applique à toutes les actions quotidiennes que nous faisons, telles que : acheter, calculer la monnaie, mesurer la distance d’un trajet, suivre le temps…
D’autres façons d’utiliser les nombres entiers dans la vie quotidienne incluent la commande d’objets (par exemple, placer des livres sur une étagère dans l’ordre alphabétique) et le suivi des emplacements (par exemple, trouver un bâtiment sur une carte). En conclusion, pratiquement tout ce que vous faites est entouré de valeurs entières.