Les nombres irrationnels sont un ensemble quelque peu complexe de nombres. Ces nombres offrent des possibilités infinies pour les études mathématiques. Et dans cet article nous allons vous expliquer ses principales fonctionnalités afin que vous compreniez comment elles fonctionnent et comment elles sont utilisées. Cela dit, commençons par les définir.
Que sont les nombres irrationnels ?
Les nombres irrationnels sont ceux qui ne peuvent pas être exprimés comme une fraction de deux nombres entiers. Cela signifie que le nombre ne peut pas être divisé en parties égales. Eh bien, ils ont des chiffres décimaux non périodiques infinis (qui semblent aléatoires). Ils sont souvent représentés par la lettre θ (thêta) ou la lettre I (majuscule).
Sous-ensembles de l’ensemble des nombres irrationnels
L’ensemble des nombres irrationnels est un sous-ensemble de l’ ensemble réel , qui à son tour peut être décomposé en deux catégories inférieures, selon l’origine de ces nombres :
- Irrationnels algébriques : ils sont la solution d’une équation algébrique.
- Transcendantale : elles sont issues de fonctions transcendantales (trigonométriques, logarithmiques, exponentielles, etc.).
Exemples de nombres irrationnels
Quelques exemples de nombres irrationnels sont le nombre pi (π), le nombre d’Euler , la racine carrée de 2, la racine carrée de 5, et bien d’autres. En fait, bon nombre de ces nombres sontdes constantes mathématiques ou des racines de certains nombres. Voici une liste de cinq autres exemples de nombres irrationnels :
- racine carrée de 3 ( √ 3)
- Racine carrée de 93 ( √ 93)
- Racine carrée de 123 ( √ 123)
- Racine carrée de 189 ( √ 189)
- Nombre d’or (Φ)
Caractéristiques des nombres irrationnels
Les nombres irrationnels ont plusieurs caractéristiques distinctes. Premièrement, elles sont indénombrables, c’est-à-dire qu’elles ne peuvent pas être énumérées. En effet, les nombres irrationnels occupent une densité de points beaucoup plus élevée dans l’espace que la densité de points des nombres rationnels. Fondamentalement, parce qu’ils ont des nombres infinis .
Deuxièmement, les nombres irrationnels ne sont pas périodiques. Cela signifie qu’il n’existe pas de chaîne de chiffres se répétant indéfiniment dans sa représentation décimale . Pi en est un bon exemple : ses chiffres décimaux ne suivent pas de modèle et semblent aléatoires.
Enfin, les nombres irrationnels sont denses. Cela signifie qu’il existe un nombre infini de nombres irrationnels entre deux nombres donnés. Cette fonctionnalité se produit parce que les intervalles entre les valeurs sont trop petits pour être mesurables, il semble donc que l’ensemble de nombres irrationnels est continu .
Représentation des nombres irrationnels
La représentation des nombres irrationnels est très simple. C’est un nombre qui ne peut pas être exprimé sous forme de fraction et ne peut donc pas être représenté sous la forme de division habituelle. Au lieu de cela, il est représenté sous la forme d’un nombre décimal qui ne se termine pas ou qui n’a pas de modèle. Par exemple, le nombre Pi (3.14159…) est un nombre irrationnel.
Par contre, ils peuvent aussi être représentés sur la droite numérique , mais il est assez complexe de situer cet ensemble sur la droite. C’est parce qu’ils ont un nombre infini de décimales et qu’il est donc pratiquement impossible de les localiser avec une précision exacte.
Applications mathématiques des irrationnels
Les nombres irrationnels ont de nombreuses applications en mathématiques. Par exemple, ils ont une grande applicabilité en géométrie : ils sont utilisés pour calculer des aires, des périmètres de figures géométriques, des longueurs de courbes et des volumes de corps tridimensionnels. Ils sont également utilisés dans les calculs statistiques et dans l’analyse mathématique.
De plus, il existe de nombreuses constantes mathématiques appartenant à l’ensemble irrationnel, qui ont des applications infinies. Donc en conclusion, on peut dire que c’est un ensemble un peu complexe, mais très utile .