▷ Quelles sont les propriétés (ou lois) des limites ?

Vous trouverez ici toutes les propriétés (ou lois) des limites des fonctions. Ces propriétés servent à simplifier les calculs de limites, en particulier lorsqu’il s’agit de limites avec des opérations de fonction.

Quelles sont les propriétés (ou lois) des limites des fonctions ?

Ensuite, nous expliquerons toutes les propriétés des limites des fonctions, ou aussi appelées lois des limites des fonctions. De plus, vous pourrez voir des exercices résolus pour chaque propriété des limites afin que vous puissiez parfaitement comprendre le concept.

Propriété de la limite d’une somme

La limite de la somme de deux fonctions en un point est égale à la somme des limites de chaque fonction en ce même point séparément.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

Par exemple, supposons qu’il y ait deux fonctions :

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

La limite de chaque fonction en x égal à 1 est :

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

Par conséquent, la limite des deux fonctions ajoutées au même point donne 4 (1+3=4).

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

La propriété peut être prouvée en calculant la limite étape par étape :

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

Propriété de la limite d’une soustraction

La limite de la soustraction (ou différence) de deux fonctions en un point équivaut à la soustraction de la limite de chaque fonction en ce même point séparément.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

En reprenant les fonctions de l’exemple précédent :

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

La limite de chaque fonction au point x=3 est :

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

Alors, la limite des deux fonctions soustraites en x=3 est la différence des valeurs obtenues à l’étape précédente :

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

Nous pouvons prouver cette propriété des limites en calculant la soustraction des fonctions puis en résolvant la limite :

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

Propriété limite d’un produit

La limite du produit de deux fonctions en un point est le produit de la limite de chaque fonction en ce point.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

Par exemple, si nous avons les deux fonctions différentes suivantes :

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

La limite de chaque fonction à x=2 est :

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

Ainsi, pour déterminer la limite du produit des deux fonctions, il n’est pas nécessaire de les multiplier entre elles, mais il suffit de multiplier le résultat obtenu à partir de chaque limite :

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

Cela nous permet d’économiser du temps et des calculs car multiplier deux fonctions peut être difficile.

Propriété de la limite d’un quotient

La limite du quotient (ou division) de deux fonctions est égale au quotient des limites des fonctions.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Cette condition est satisfaite tant que la limite de la fonction dénominateur n’est pas nulle.

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

Nous allons résoudre un exemple de cette propriété (ou loi) des limites. Soit les fonctions f(x) et g(x) :

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

Nous calculons d’abord la limite de chaque fonction à x=0 :

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

Ainsi la limite de la division des deux fonctions en x=0 peut être facilement trouvée :

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

Dans ce cas, nous pouvons appliquer cette propriété pour résoudre la limite car la limite de g(x) est différente de zéro.

Propriété de la limite d’une constante

La limite d’une fonction constante se traduit toujours par la constante elle-même, quel que soit le point auquel la limite est calculée.

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

Cette propriété est très simple à vérifier, par exemple si l’on a la fonction constante suivante :

$f(x)=5$

Logiquement, la limite de la fonction constante en tout point est 5 :

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

Propriété de la limite d’un multiple constant

Des propriétés de limite d’un produit et de limite d’une constante, on peut déduire la propriété suivante :

La limite d’une fonction multipliée par une constante est égale au produit de ladite constante et de la limite de la fonction.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

Remarquez comment nous simplifions le calcul de la limite suivante en utilisant cette propriété :

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

Propriété de la limite d’une puissance

La limite de toute fonction élevée à un exposant équivaut à calculer la limite de la fonction puis à élever le résultat de la limite à cet exposant.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

Par exemple, la limite d’une fonction linéaire est :

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

Eh bien, la limite de la fonction quadratique peut être calculée en trouvant la limite de la fonction linéaire puis en mettant le résultat au carré :

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

Propriété de la limite d’une fonction exponentielle

La limite d’une fonction exponentielle est égale à la constante de la fonction élevée à la limite de l’expression algébrique de la fonction.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

Nous calculerons ensuite la limite d’une fonction exponentielle de deux manières possibles pour vérifier cette propriété :

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

Propriété de la limite d’une puissance de fonctions

La limite d’une fonction élevée à une autre fonction est la limite de la première fonction élevée à la limite de la deuxième fonction.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

A titre d’exemple, nous déterminerons la limite suivante en appliquant cette loi :

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

Propriété de la limite d’une fonction irrationnelle

La limite d’une racine (ou d’un radical) est égale à la racine de la limite.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

Pour utiliser cette propriété, vous devez garder à l’esprit que si l’index racine est pair, la limite de la fonction doit être supérieure ou égale à 0 :

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

Remarquez comment la limite suivante a été calculée en appliquant cette formule :

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

Propriété de la limite d’une fonction logarithmique

La limite d’un logarithme est équivalente au logarithme de même base de la limite.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

Regardez la résolution de la limite suivante dans laquelle nous appliquons cette propriété :

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$

Propriétés (ou lois) des limites