▷ Dérivée d'une constante (exemples résolus)

Nous expliquons ici combien vaut la dérivée d’une constante (avec des exemples). Nous vous apprenons également à calculer la dérivée d’une constante multipliée par une fonction, une constante divisée par une fonction et une constante élevée en fonction. Enfin, vous pouvez vous entraîner avec des exercices résolus sur les dérivées de constantes.

Quelle est la dérivée d’une constante

La dérivée d’une constante est toujours égale à zéro , quelle que soit la valeur de la constante.

$f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0$

Par conséquent, pour trouver la dérivée d’une fonction constante, il n’est pas nécessaire de faire de calculs, la dérivée est simplement nulle.

La dérivée d’une constante est nulle car le graphique d’une fonction constante n’a pas de pente.

Exemples de dérivées de constantes

Étant donné la définition de la dérivée d’une fonction constante, nous allons voir plusieurs exemples résolus pour bien comprendre le concept :

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Comme vous pouvez le voir, la dérivée d’une constante donne toujours 0. Peu importe que le signe de la constante soit positif ou négatif, ou que la valeur de la constante soit très grande ou très petite, sa dérivée sera nulle.

Preuve de la dérivée d’une constante

Une fois que nous aurons vu combien est la dérivée d’une constante, nous démontrerons pourquoi ce type de dérivées est égale à zéro.

Soit f une fonction constante de n’importe quelle valeur :

$f(x)=k$

La formule pour calculer la dérivée d’une fonction en un point est :

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

➤ Voir : définition du dérivé

Donc, si nous résolvons la limite de la fonction constante :

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0$

Ainsi, la dérivée d’une fonction constante est 0 en tout point. Par conséquent, la formule de la dérivée d’une constante est démontrée.

Dérivée d’une constante par une fonction

Nous venons d’analyser la dérivée d’une seule constante, c’est-à-dire d’une fonction sans aucune variable. Mais comme vous le savez, les fonctions peuvent être combinées à l’aide d’opérations. C’est pourquoi nous étudierons ci-dessous les dérivées de constantes combinées avec d’autres types de fonctions, par exemple la dérivée d’une constante multipliée par un autre type de fonction.

La dérivée d’une constante multipliée par une fonction est égale à la constante multipliée par la dérivée de la fonction.

$f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)$

Par exemple, la dérivée de la fonction quadratique suivante est :

$g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x$

Par conséquent, la dérivée de multiplier cette fonction par une constante équivaut à multiplier la dérivée calculée à l’étape précédente par la constante :

$f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x$

Dérivée d’une constante entre une fonction

La dérivée d’une constante entre une fonction est égale au produit de la constante modifiée par la dérivée de la fonction divisé par la fonction au carré.

$f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}$

Par exemple, la dérivée de la constante suivante divisée par une fonction linéaire est :

$f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}$

Puisque la dérivée de 8x est 8.

Dérivée d’une constante élevée en fonction

La dérivée d’une constante élevée en fonction est égale au produit du logarithme népérien de la constante multiplié par la constante élevée en fonction par la dérivée de la fonction.

$f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)$

Par exemple, puisque la dérivée du sinus est le cosinus, différencier une constante élevée en sinus donne :

$f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)$

Exercices résolus sur les dérivées de constantes

Résolvez les dérivées de constantes suivantes :

$\text{A)}\ f(x)=4$

$\text{B)}\ f(x)=99$

$\text{C)}\ f(x)=-15$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}$

$\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}$

$\text{F)}\ f(x)=2\pi$

$\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)$

$\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}$

$\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}$

Voir la solution

Jusqu’à l’exercice F), toutes les fonctions sont de simples valeurs constantes, donc toutes leurs dérivées donnent zéro.

$\text{A)}\ f'(x)=0$

$\text{B)}\ f'(x)=0$

$\text{C)}\ f'(x)=0$

$\text{D)}\ f'(x)=0$

$\text{E)}\ f'(x)=0$

$\text{F)}\ f'(x)=0$

Même s’il s’agit d’une fraction ou d’une racine, si la fonction n’a aucune variable, cela signifie que c’est une fonction constante et, par conséquent, sa dérivée est nulle.

En revanche, les trois exercices suivants sont des fonctions qui sont des opérations de constantes avec d’autres fonctions. Par conséquent, pour calculer leurs dérivées, nous devons appliquer leurs formules correspondantes :

$\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6$

$\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}$

$\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)$

Dérivé d’une constante