▷ Dérivée du sinus (formule et exercices résolus)

Dans cet article, nous expliquons comment créer la dérivée du sinus (formule). Vous trouverez des exemples de dérivées de fonctions sinusoïdales et des exercices résolus étape par étape pour vous entraîner. De plus, nous vous montrons la dérivée seconde du sinus, la dérivée du sinus inverse et nous démontrons même la formule de la dérivée du sinus.

Quelle est la dérivée du sinus ?

La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus. Par conséquent, la dérivée du sinus de x est égale au cosinus de x.

$f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)$

S’il y a une fonction dans l’argument du sinus, la dérivée du sinus est le cosinus de ladite fonction multiplié par la dérivée de la fonction.

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Cette deuxième formule pour la dérivée du sinus est obtenue en appliquant la règle de la chaîne à la première formule. Donc, en résumé, la formule de la dérivée de la fonction sinus est :

Exemples de dérivée du sinus

Une fois que nous avons vu quelle est la formule de la dérivée du sinus, nous expliquons plusieurs exemples de ce type de dérivées trigonométriques afin que vous compreniez parfaitement comment dériver la fonction sinus.

Exemple 1 : Dérivée du sinus de 2x

$f(x)=\text{sen}(2x)$

Dans l’argument sinus, nous avons une fonction différente de x, nous devons donc utiliser la formule suivante pour dériver le sinus :

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

La dérivée de 2x est 2, donc la dérivée du sinus de 2x est le produit du cosinus de 2x par 2.

$f(x)=\text{sen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(2x)\cdot 2=2\text{cos}(2x)$

Exemple 2 : Dérivée du sinus de x au carré

$f(x)=\text{sen}(x^2)$

La formule de la dérivée de la fonction sinus est :

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Et puisque la dérivée de x ² est égale à 2x, la dérivée du sinus de x élevé à la puissance 2 est :

$f(x)=\text{sen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^2)\cdot 2x$

Exemple 3 : Dérivée du sinus au cube

$f(x)=\text{sen}^3(x^5+4x)$

Dans cet exemple, la fonction sinus est composée d’une autre fonction, il faut donc utiliser la règle suivante pour différencier le sinus :

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

La dérivée de la fonction est donc :

$f'(x)=3\text{sen}^2(x^5+4x)\cdot \text{cos}(x^5+4x)\cdot (5x^4+4)$

➤ Afin de dériver cette fonction, vous devez également appliquer la formule de la dérivée d’une puissance .

Dérivée seconde du sinus

Nous allons ensuite analyser la dérivée seconde de la fonction sinus, car étant une fonction trigonométrique, elle présente des caractéristiques particulières.

Comme nous l’avons vu plus haut, la dérivée du sinus est le cosinus. Eh bien, la dérivée du cosinus est le sinus mais a changé de signe. Ce qui veut dire que la dérivée seconde du sinus est le sinus lui-même mais a changé de signe .

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}$

Cependant, si l’argument sinus n’est pas x, cette condition change car nous devons faire glisser le terme de la règle de chaîne :

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}$

Dérivée sinusoïdale inverse

Comme vous le savez bien, chaque fonction trigonométrique a une fonction inverse, donc le sinus inverse est également dérivable.

La dérivée du sinus inverse est égale au quotient de la dérivée de la fonction argument divisé par la racine carrée de un moins le carré de la fonction argument.

$f(x)=\text{sen}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

N’oubliez pas que le sinus inverse est également appelé arc sinus.

Par exemple, la dérivée du sinus inverse de 5x est :

$f(x)=\text{sen}^{-1}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\cfrac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$

Exercices résolus sur la dérivée du sinus

Calculez les dérivées des fonctions sinusoïdales suivantes :

$\text{A) }f(x)=\text{sen}(7x)$

$\text{B) }f(x)=\text{sen}(x^2+5x-9)$

$\text{C) }\displaystyle f(x)=\text{sen}\left(\frac{x}{4}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{sen}^4(5x^3-10x^2)$

$\text{E) }f(x)=\text{sen}\bigl(\ln(x)\bigr)$

$\text{F) }f(x)=2\text{sen}(x^4-3x^3)-7\text{sen}^2(x^5)$

Voir la solution

$\text{A) }f'(x)=7\text{cos}(7x)$

$\text{B) }f'(x)=\text{cos}(x^2+5x-9)\cdot (2x+5)$

$\text{C) }\displaystyle f'(x)=\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)\cdot \frac{1}{4}=\frac{\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)}{4}$

$\text{D) }f'(x)=4\text{sen}^3(5x^3-10x^2)\cdot \text{cos}(5x^3-10x^2)\cdot (15x^2-20x)$

$\text{E) }f'(x)=\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot \cfrac{1}{x} =\cfrac{\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}$

$\text{F) }f'(x)=2\text{cos}(x^4-3x^3)\cdot (4x^3-9x^2)-14\text{sen}(x^5)\cdot \text{cos}(x^5)\cdot 5x^4$

Démonstration de la dérivée du sinus

Dans cette section nous allons montrer que la dérivée du sinus de x est le cosinus de x en utilisant la définition de la dérivée, qui est :

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Dans ce cas la fonction à dériver est sin(x), donc :

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}$

Le sinus d’une somme peut être réécrit en appliquant l’identité trigonométrique suivante :

$\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\text{cos}(b)+\text{cos}(a)\text{sen}(b)$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(h)+\text{cos}(x)\text{sen}(h)-\text{sen}(x)}{h}$

On transforme la fraction en deux fractions de même dénominateur. On peut faire cette opération grâce à la loi de la limite d’une somme.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\text{sen}(x)\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\lim_{h \to 0}\text{cos}(x)\frac{\text{sen}(h)}{h}$

➤ Voir : lois des limites

Les termes sinus de x et cosinus de x ne dépendent pas de la valeur de h, on peut donc les sortir de la limite :

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\text{cos}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(h)}{h}$

Il ne nous reste plus qu’à appliquer ces deux limites trigonométriques :

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0$

➤ Remarque : Vous pouvez rechercher la démonstration des deux limites trigonométriques précédentes dans le moteur de recherche de notre site Internet.

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot 0+\text{cos}(x)\cdot 1$

$\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)$

Et on montre ainsi que la dérivée du sinus de x est le cosinus de x.

Dérivé du sein

Quelle est la dérivée du sinus ?

Exemples de dérivée du sinus

Exemple 1 : Dérivée du sinus de 2x

Exemple 2 : Dérivée du sinus de x au carré

Exemple 3 : Dérivée du sinus au cube

Dérivée seconde du sinus

Dérivée sinusoïdale inverse

Exercices résolus sur la dérivée du sinus

Démonstration de la dérivée du sinus

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