▷ Dérivée d'une somme (formule et exercices résolus)

Nous expliquons ici comment dériver une somme de fonctions (formule). De plus, vous pourrez voir des exemples de dérivées de sommes et vous pourrez même vous entraîner avec des exercices résolus sur la dérivée d’une somme. Et enfin, vous trouverez la démonstration de la formule de la dérivée d’une somme.

Formule pour la dérivée d’une somme

La dérivée d’une somme de deux fonctions est égale à la somme des dérivées de chaque fonction séparément.

$z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Autrement dit, dériver deux fonctions séparément puis les ajouter équivaut à ajouter d’abord les fonctions puis à prendre la dérivée.

Notez que la règle de la dérivée de l’addition s’applique également à la soustraction, donc si une fonction a un signe négatif devant elle au lieu d’un signe positif, nous devons également utiliser la même formule pour la différencier.

$z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

De plus, l’addition est une opération qui a la propriété associative, ce qui signifie que le nombre d’additions impliquées dans l’addition est indifférent, puisque la dérivée de la fonction entière continuera à être l’addition de la dérivée de chaque fonction.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}$

Exemples de dérivée d’une somme

Une fois que nous aurons vu quelle est la formule de la dérivée d’une somme, nous allons voir plusieurs exemples de dérivées de ce type d’opérations pour bien comprendre comment sont dérivées les sommes de fonctions.

Exemple 1 : Dérivée d’une somme de fonctions potentielles

$f(x)=3x^2+5x$

La dérivée de la somme de deux fonctions est égale à la dérivée de chaque fonction séparément. Par conséquent, nous calculons d’abord la dérivée de chaque fonction séparément :

$\cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x$

$\cfrac{d}{dx}\ 5x=5$

Ainsi, la dérivée de la fonction entière sera la somme des deux dérivées calculées :

$f'(x)=6x+5$

Exemple 2 : Dérivée d’une somme de différentes fonctions

$f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)$

Pour différencier la somme des fonctions, il faut différencier les deux fonctions séparément puis les additionner. On dérive donc les fonctions :

$\cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}$

Et puis on ajoute les deux dérivées trouvées :

$f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}$

Exemple 3 : Dérivée d’une somme au carré

$f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2$

Dans ce cas nous avons une fonction composée, puisque nous avons une somme de fonctions élevée à une puissance. Par conséquent, nous devons appliquer la règle de la chaîne pour dériver la fonction entière :

$f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)$

➤ Voir : dériver une puissance

Exercices résolus sur les dérivées de sommes de fonctions

Dérivez les sommes de fonctions suivantes

$\text{A) } f(x)=6x^3+9x^2$

$\text{B) } f(x)=x^4+10x^3+5x$

$\text{C) } f(x)=3x^2-4x+7$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}(x)+e^{3x}$

$\text{E) } f(x)=\left(x^3+4x^2+6x\right)^3$

$\text{F) } f(x)=\log_3(8x^2+2x)-x^7+e^{x^2}$

Voir la solution

$\text{A) } f'(x)=18x^2+18x$

$\text{B) } f'(x)=4x^3+30x^2+5$

$\text{C) } f'(x)=6x-4$

$\text{D) } f'(x)=-\text{sen}(x)+3e^{3x}$

$\text{E) } f'(x)=3\left(x^3+4x^2+6x\right)^2\cdot (3x^2+8x+6)$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{16x+2}{(8x^2+2x)\ln(3)}-7x^6+2x\cdot e^{x^2}$

Démonstration de la formule de la dérivée d’une somme

Dans cette dernière section, nous allons démontrer la formule de la dérivée d’une somme de fonctions. Et, pour ce faire, nous recourrons à la définition mathématique de la dérivée, qui est la suivante :

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Alors, soit z la somme de deux fonctions différentes :

$z(x)=f(x)+g(x)$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}$

Nous substituons maintenant z à la somme des fonctions dans l’expression limite :

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\bigl[f(x+h)+g(x+h)\bigr]-\bigl[f(x)+g(x)\bigr]}{h}$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$

Nous transformons la fraction pour avoir une somme de deux fractions, chacune correspondant à chaque fonction additionnante :

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]$

Grâce aux propriétés des limites, on peut séparer l’expression précédente en deux limites, puisque la limite d’une somme est équivalente à la somme des limites :

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

Et, comme nous l’avons vu plus haut dans la définition de la dérivée, à chaque limite correspond la dérivée d’une fonction. L’égalité suivante est donc réalisée :

$\displaystyle z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Dérivé d’une somme