Cette page explique la signification de l’extrapolation d’une fonction. Vous trouverez également un exemple de comment effectuer une extrapolation linéaire et, enfin, les différences entre interpolation et extrapolation.
Qu’est-ce que l’extrapolation ?
La définition de l’extrapolation est la suivante :
En mathématiques, l’extrapolation est un processus utilisé pour approximer la valeur que prend une fonction en un point situé en dehors d’un intervalle observé.
Par conséquent, lors de l’extrapolation, nous supposons toujours que la fonction sera d’une certaine manière puisque nous n’avons pas de données au-delà des limites de l’intervalle. Par conséquent, il ne peut jamais être complètement garanti que la fonction prendra cette valeur approximative.
Quelle est la différence entre interpolation et extrapolation ?
Interpoler et extrapoler ont des significations très similaires, car les deux impliquent d’estimer la valeur d’une fonction en un point à partir de deux points connus.
Or, extrapoler revient à estimer la valeur de la fonction en un point situé en dehors de l’intervalle formé par ces deux points connus. Au lieu de cela, l’interpolation consiste à faire une approximation d’un point situé dans l’intervalle formé par ces deux points connus.
Comme vous pouvez le voir dans le graphique ci-dessus, les points connus sont (2,3) et (6,5). Dans ce cas on veut faire une interpolation en x=4, puisque c’est entre les points connus, par contre on veut faire une extrapolation en x=8, car c’est en dehors de l’intervalle connu.
De toute évidence, une valeur interpolée est beaucoup plus fiable qu’une valeur extrapolée, car dans l’extrapolation, nous supposons que la fonction suivra un chemin similaire. Cependant, il se peut que la pente de la fonction change en dehors des limites de l’intervalle connu et que l’estimation soit erronée. Pour cette raison, la prédiction de la valeur est d’autant plus fiable que le point extrapolé est proche de l’intervalle connu.
extrapolation linéaire
Extrapoler linéairement signifie rapprocher la fonction d’une fonction linéaire ou affine, c’est-à-dire d’une fonction polynomiale de degré 1.
Le moyen le plus simple d’effectuer une extrapolation linéaire est l’interpolation polynomiale newtonienne. Dans ce cas, un polynôme du premier degré est utilisé pour tenter de prédire la valeur de la fonction en un point.
Étant donné deux points connus,
et
, la formule pour effectuer l’extrapolation linéaire est :
Où
et
sont les coordonnées du point extrapolé.
On peut vérifier que cette formule correspond à l’équation point-pente de la droite.
Exemple d’extrapolation linéaire
Ensuite nous allons voir un problème comme exemple pour finir de comprendre le concept d’extrapolation linéaire :
- Le prix par personne d’un trajet en autocar dépend linéairement des kilomètres parcourus. Faire 70 km coûte 15 € et 120 km coûte 20 €. Calculez le prix d’un trajet de 150 km.
Tout d’abord, nous devons définir la fonction linéaire qui relie les kilomètres parcourus au prix du voyage. Dans ce cas, le X sera les kilomètres parcourus et le Y sera le prix. Car le prix va varier en fonction des kilomètres parcourus, autrement dit, le prix dépend des kilomètres parcourus, et non l’inverse.
D’après l’énoncé, nous savons que la fonction passe par les points (70,15) et (120,20). Il suffit donc d’appliquer la formule pour extrapoler au point
Nous substituons les valeurs des points dans l’équation:
Et on fait les calculs :
Ainsi faire un trajet de 150 km coûtera 23€.
De cette façon, nous avons déjà résolu l’exercice, comme vous l’avez vu, ce n’est pas très compliqué. N’oubliez pas que vous pouvez laisser toutes vos questions dans les commentaires !