Indétermination infini entre infini (∞/∞)

Dans cet article, nous expliquons comment calculer l’infini d’indétermination entre l’infini (∞/∞). Vous trouverez des exemples de cette indétermination avec toutes sortes de fonctions : fonctions polynomiales, radicales, exponentielles,… De plus, vous pourrez vous entraîner avec des exercices résolus pas à pas de limites qui donnent des indéterminations infini entre infini.

Comment résoudre l’indétermination infini entre infini

Lorsque la limite d’une fonction donne l’infini divisé par l’infini, cela signifie qu’il s’agit d’une indétermination (ou forme indéterminée). Pour résoudre la limite d’une fonction qui donne l’infini d’indétermination entre l’infini, le degré du polynôme numérateur doit être comparé au degré du polynôme dénominateur.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\frac{+\infty}{+\infty}$

Le résultat de l’indétermination infini divisé par l’infini dépend du degré du numérateur et du degré du dénominateur de la fraction :

Si le degré du polynôme numérateur est inférieur au degré du polynôme dénominateur, l’infini d’indétermination divisé par l’infini est égal à zéro.
Si le degré du polynôme numérateur est équivalent au degré du polynôme dénominateur, l’indétermination infini sur l’infini est le quotient des coefficients directeurs des deux polynômes.
Si le degré du polynôme numérateur est supérieur au degré du polynôme dénominateur, l’infini d’indétermination entre l’infini donne plus ou moins l’infini (le signe dépend des termes principaux des deux polynômes).

$\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex]="" \cfrac{a_n}{b_n}="" &="" \text{si}="" r="s" \\[5ex]="" \pm="" \infty="">s \end{array}\right.$

Exemples d’indéterminations infini entre infini

Voyons comment la forme indéterminée infini entre infini est résolue en examinant plusieurs exemples de chaque cas :

degré du numérateur inférieur au degré du dénominateur

Comme nous l’avons vu plus haut, lorsque le degré du polynôme numérateur est inférieur au degré du polynôme dénominateur, la limite indéterminée infinie entre l’infini donne toujours 0.

Exemple 1:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2-5}{x^3+1} = \cfrac{6(+\infty)^2}{(+\infty)^3} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

Le polynôme du numérateur est du second degré, tandis que celui du dénominateur est du troisième degré, donc la solution de la limite est 0.

Exemple 2 :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{-7x}{2x^4+3x^2}=\frac{-7\cdot (-\infty)}{2(-\infty)^4}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

La fonction polynomiale du numérateur est du premier degré, mais la fonction du dénominateur est du quatrième degré, de sorte que la limite à l’infini négatif est égale à 0.

degré du numérateur égal au degré du dénominateur

Lorsque le degré du polynôme numérateur est égal au degré du polynôme dénominateur, la limite indéterminée infini par l’infini est calculée en divisant les coefficients dominants (coefficient du terme de degré le plus élevé) des deux polynômes.

Exemple 3 :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x^2+1}{2x^2-5} = \cfrac{4(+\infty)^2}{2(+\infty)^2}= \cfrac{+\infty}{+\infty} =\cfrac{4}{2} = \bm{2}$

Dans ce cas, les deux polynômes sont du second degré, il faut donc diviser les coefficients des termes de degré supérieur pour trouver la limite à l’infini positif.

Exemple 4 :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{2x+1}{5x+3} = \cfrac{2(-\infty)}{5(-\infty)}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\cfrac{\bm{2}}{\bm{5}}$

Bien que la limite soit lorsque x tend vers moins l’infini, l’indétermination infinie entre l’infini se résout de la même manière.

Degré du numérateur supérieur au degré du dénominateur

Lorsque le degré du polynôme numérateur est supérieur au degré du polynôme dénominateur, la forme indéterminée de l’infini entre l’infini donnera toujours l’infini, et le signe de l’infini est déterminé par les termes de degré supérieur des deux polynômes.

Exemple 5 :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+7}{x-2} = \cfrac{(+\infty)^2}{+\infty} = \cfrac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}$

La fonction du numérateur a un degré plus élevé que celle du dénominateur, donc l’indétermination infini sur l’infini donne l’infini. De plus, dans ce cas, le numérateur et le dénominateur obtiennent tous deux un infini positif, de sorte que le résultat de la limite doit également être positif.

Exemple 6 :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{3x^2+2x-5}{7x+1} = \cfrac{3(-\infty)^2}{7(-\infty)}=\cfrac{3(+\infty)}{-\infty}}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

Dans ce problème, un infini positif est obtenu à partir du numérateur car tout terme élevé au carré est positif, par contre, un infini négatif est obtenu à partir du dénominateur. Par conséquent, la limite résultant de la limite est négative car le positif divisé par le négatif est égal au négatif.

Indétermination infini entre infini avec racines

Nous venons de voir comment calculer l’indétermination infini entre infini quand on a des fonctions polynomiales. Mais… combien est l’infini divisé par l’infini si nous avons des racines ?

Le degré d’une fonction irrationnelle (fonction avec racines) est le quotient entre le degré du terme principal et l’indice du radical.

$\sqrt[\color{red}\bm{m}\color{black}]{a_nx^{\color{blue}\bm{n}\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots} \ \longrightarrow \ \text{grado}=\cfrac{\color{blue}\bm{n}\color{black}}{\color{red}\bm{m}\color{black}}$

Par conséquent, si la limite d’une fonction avec racines donne l’indétermination infinity entre infinity , nous devons appliquer les mêmes règles expliquées ci-dessus pour les degrés du numérateur et du dénominateur, mais en tenant compte du fait que le degré d’un polynôme avec racines est calculé différemment .

Regardez l’exemple suivant de la limite à l’infini d’une fonction avec des radicaux :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+11}{\sqrt{x^8-3x^2-5}}=\frac{4(+\infty)^2}{\sqrt{(+\infty)^8}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Le degré du numérateur est 2 et le degré du dénominateur est 4 (8/2=4), par conséquent, la limite est 0 car le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur.

Par contre, si le degré du numérateur et du dénominateur sont égaux, pour calculer la limite indéterminée, il faut prendre le coefficient principal avec le radical :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{6x-5}{\sqrt{9x^2+2x}}=\frac{6(+\infty)}{\sqrt{9(+\infty)^2}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\frac{6}{\sqrt{9}}=\frac{6}{3}=\bm{2}$

Indétermination infini entre infini avec fonctions exponentielles

Enfin, nous n’avons qu’à étudier un cas du quotient d’indétermination des infinis : de combien est l’indétermination infinie entre l’infini et les fonctions exponentielles.

La croissance d’une fonction exponentielle est beaucoup plus grande que la croissance d’une fonction polynomiale, nous devons donc considérer que le degré d’une fonction exponentielle est supérieur au degré d’une fonction polynomiale.

$\text{exponencial}>\text{polinomio}$

Par conséquent, si l’indétermination infinie divisée par l’infini résulte d’une limite avec des fonctions exponentielles, il suffit d’appliquer les mêmes règles expliquées pour les degrés du numérateur et du dénominateur, mais en tenant compte qu’une fonction exponentielle est d’ordre supérieur à un polynôme . .

De plus, si nous avons des fonctions exponentielles au numérateur et au dénominateur de la division, la fonction exponentielle dont la base est la plus grande sera d’ordre supérieur.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{7x^5+6x^3-4x}{4^x}=\frac{7(+\infty)^5}{4^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Dans ce cas, le dénominateur est formé par une fonction exponentielle, il est donc d’ordre supérieur au numérateur. Par conséquent, la forme indéterminée infini entre infini s’évanouit.

Exercices résolus de l’indétermination infinie entre infini

Exercice 1

Calculez la limite de la fonction rationnelle suivante :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x-5}{x^2-1}$

voir solution

Lors du calcul de la limite, nous obtenons l’indétermination infini entre l’infini, mais comme le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, la limite indéterminée est égale à zéro.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x-5}{x^2-1} = \cfrac{6(+\infty)}{(+\infty)^2} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

Exercice 2

Résolvez la limite indéterminée suivante :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3+4x-1}{5x^2-3x+4}$

voir solution

En essayant de calculer la limite, l’indétermination ∞/∞ est obtenue. Dans ce cas, le degré du polynôme numérateur est supérieur au degré du polynôme dénominateur, de sorte que la limite indéterminée est égale à plus l’infini.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3+4x-1}{5x^2-3x+4} = \cfrac{(+\infty)^3}{5(+\infty)^2} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}$

Exercice 3

Résolvez la limite suivante à l’infini :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1}$

voir solution

La limite donne l’indétermination moins l’infini entre plus l’infini. Le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, donc la limite indéterminée est égale à plus l’infini. Cependant, puisque la division est l’infini négatif par l’infini positif, le résultat est moins l’infini.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1} = \cfrac{-4(+\infty)^2}{3(+\infty)} =\cfrac{-4(+\infty)}{+\infty}= \cfrac{-\infty}{+\infty}= \bm{-\infty}$

Exercice 4

Résolvez la limite indéterminée suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2}$

voir solution

Dans ce problème, la forme indéterminée infinie sur l’infini est obtenue à partir du quotient de deux polynômes de même degré, par conséquent, le résultat de la limite indéterminée est la division de leurs coefficients principaux :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2} = \cfrac{5(+\infty)}{-5(+\infty)} = \cfrac{+\infty}{-\infty}=\cfrac{5}{-5}= \bm{-1}$

Exercice 5

Calculer la limite suivante au moins à l’infini :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6}$

voir solution

Le degré de l’expression algébrique du numérateur est inférieur au degré de l’expression du dénominateur, donc l’indétermination +∞/+∞ donne 0 :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6} = \cfrac{(-\infty)^2}{(-\infty)^4} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

Exercice 6

Résolvez la limite indéterminée suivante d’une fonction avec des racines :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}$

voir solution

L’expression du numérateur est sous un radical, donc son degré est 7/3. Par contre, le polynôme du dénominateur est quadratique. Et depuis 7/3>2, la limite donne plus l’infini :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}=\frac{\sqrt[3]{(+\infty)^7}}{(+\infty)^2}=\frac{+\infty}{+\infty}=+\infty$

Exercice 7

Déterminez la limite à l’infini de la fonction suivante avec des fractions :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x}$

voir solution

Dans cet exercice, l’indétermination moins l’infini divisé par moins l’infini est obtenue avec le degré du numérateur supérieur au degré du dénominateur, donc :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x} = \cfrac{-2(+\infty)^2}{-4(+\infty)} = \cfrac{-2(+\infty)}{-\infty}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\bm{+\infty}$

Exercice 8

Trouver la limite au moins à l’infini de la fonction suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2}$

voir solution

Le polynôme dénominateur est quadratique, tandis que le polynôme numérateur est linéaire. Par conséquent, l’infini d’indétermination divisé par l’infini donne 0.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2} = \cfrac{9(-\infty)}{-(-\infty)^2} = \cfrac{-\infty}{-(+\infty)}=\cfrac{-\infty}{-\infty}= \bm{0}$

Exercice 9

Résolvez la limite au moins infinie de la fonction suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1}$

voir solution

Le numérateur est de plus grand degré que le dénominateur, donc le résultat de la forme indéterminée ∞/∞ sera infini. De plus, le signe de l’infini sera négatif car le positif divisé par le négatif donne le négatif :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1} = \cfrac{-2(-\infty)^3}{-3(-\infty)^2} =\cfrac{-2(-\infty)}{-3(+\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

Exercice 10

Résoudre la limite suivante avec indétermination infini entre infini :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\cfrac{2^x-4}{-2x^6+x^4}$

voir solution

La fonction exponentielle est d’ordre supérieur à la fonction polynomiale, donc la limite donnera l’infini. Cependant, en divisant le positif par le négatif, le signe de l’infini sera négatif :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2^x-4}{-2x^6+x^4}=\frac{2^{+\infty}}{-2(+\infty)^6}=\frac{+\infty}{-\infty}=\bm{-\infty}$

Exercice 11

Calculez la limite suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^3-5x}{-x^3-5x^2}$

voir solution

Dans ce problème, l’indétermination infini sur l’infini est résolue en divisant les coefficients dominants des deux polynômes, puisqu’ils sont de même degré :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^3-5x}{-x^3-5x^2} = \cfrac{(-\infty)^3}{-(-\infty)^3} = \cfrac{-\infty}{-(-\infty)}= \cfrac{-\infty}{+\infty}=\cfrac{1}{-1}=\bm{-1}$

Exercice 12

Résolvez la limite de la fonction suivante lorsque x tend vers l’infini :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{(x+3)^2}{x}$

voir solution

Bien que l’inconnue du numérateur ne soit pas directement au carré, lors de la résolution de l’identité notable, nous pouvons clairement voir que le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur. Pourtant:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{(x+3)^2}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+9+6x}{x} = \cfrac{(+\infty)^2}{+\infty} = \cfrac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}$

Exercice 13

Calculez la limite à l’infini de la fonction suivante avec une racine cubique :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{8x^3+1}}{-4x}$

voir solution

Le numérateur est composé d’une racine cubique, donc son degré est 3/3=1. Alors, le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur, donc l’indétermination infinie entre l’infini se résout comme suit :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{8x^3+1}}{-4x}= \cfrac{\sqrt[3]{8(+\infty)^3}}{-4(\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty} = \cfrac{\sqrt[3]{8}}{-4}=\cfrac{2}{-4}=\bm{-}\mathbf{\cfrac{1}{2}}$

Exercice 14

Résolvez la limite à l’infini de la fonction suivante avec deux radicaux :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}$

voir solution

Le degré du numérateur est 7/3 = 2,33 et le degré du dénominateur est 5/2 = 2,5. Par conséquent, puisque le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, la limite infinie indéterminée entre l’infini est 0 :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}=\cfrac{\sqrt[3]{6(+\infty)^7}}{\sqrt{(+\infty)^5}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Exercice 15

Calculez la limite suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}$

voir solution

Quel que soit le degré du numérateur, puisque nous avons une fonction exponentielle au dénominateur, le résultat de la forme indéterminée infini sur l’infini est 0 :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}=\cfrac{\sqrt[5]{(+\infty)^7}}{4^{+\infty-2}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Comment résoudre l’indétermination infini entre infini

Exemples d’indéterminations infini entre infini

degré du numérateur inférieur au degré du dénominateur

Exemple 1:

Exemple 2 :

degré du numérateur égal au degré du dénominateur

Exemple 3 :

Exemple 4 :

Degré du numérateur supérieur au degré du dénominateur

Exemple 5 :

Exemple 6 :

Indétermination infini entre infini avec racines

Indétermination infini entre infini avec fonctions exponentielles

Exercices résolus de l’indétermination infinie entre infini

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

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