Puissances matricielles -

Sur cette page nous allons voir comment faire des puissances de matrices. Vous trouverez également des exemples et des exercices résolus pas à pas de puissances de matrices qui vous aideront à le comprendre parfaitement. Vous apprendrez également quelle est la nième puissance d’une matrice et comment la trouver.

Comment est calculée la puissance d’une matrice ?

Pour calculer la puissance d’une matrice , il faut multiplier la matrice par elle-même autant de fois que le dit l’exposant. Par exemple:

$A^4 = A \cdot A \cdot A \cdot A$

Par conséquent, pour obtenir la puissance d’une matrice, vous devez savoir comment résoudre la multiplication matricielle . Sinon, vous ne pouvez pas calculer une matrice de puissance.

Exemple de calcul de la puissance d’une matrice :

Par conséquent, la puissance d’une matrice au carré est calculée en multipliant la matrice par elle-même. De même, une matrice au cube est égale à la matrice au carré de la matrice elle-même. De même, pour trouver la puissance d’une matrice élevée à quatre, la matrice élevée à trois doit être multipliée par la matrice elle-même. Et ainsi de suite.

Il y a une propriété importante de la puissance matricielle que vous devez connaître : la puissance d’une matrice ne peut être calculée que lorsqu’elle est carrée , c’est-à-dire lorsqu’elle a le même nombre de lignes que de colonnes.

Quelle est la puissance n d’une matrice ?

La nième puissance d’une matrice est une expression qui nous permet de calculer facilement n’importe quelle puissance d’une matrice.

Souvent, les puissances des matrices suivent un modèle . Par conséquent, si nous parvenons à déchiffrer la séquence qu’ils suivent, nous pourrons calculer n’importe quelle puissance sans avoir à faire toutes les multiplications.

Cela signifie que nous pouvons trouver une formule qui nous donne la nième puissance d’une matrice sans avoir à calculer toutes les puissances.

Astuces pour découvrir le schéma suivi par les puissances :

La parité de l’exposant . Il se peut que les puissances paires soient dans un sens et les puissances impaires dans l’autre.
Variation des signes. Par exemple, il se pourrait que les éléments des puissances paires soient positifs et les éléments des puissances impaires soient négatifs, ou vice versa.
Répétition : si la même matrice est répétée tous les certain nombres de puissances ou non.
Il faut aussi regarder s’il existe une relation entre l’exposant et les éléments de la matrice.

Exemple de calcul de la puissance n d’une matrice :

Être $A$ la matrice suivante, calculez $A^n$ et $A^{100}$ .

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{pmatrix}$

Nous allons d’abord calculer plusieurs puissances de la matrice

$A$ , pour essayer de deviner le modèle suivi par les puissances. Alors on calcule $A^2$ , $A^3$ , $A^4$ et $A^5:$

exercice résolu pas à pas des puissances des matrices 2x2

Lors du calcul jusqu’à

$A^5$ , on voit que les puissances de la matrice $A$ Elles suivent un schéma : pour chaque augmentation de puissance, le résultat est multiplié par 2. Par conséquent, toutes les matrices sont des puissances de 2 :

$\displaystyle A^2= \begin{pmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2^1 & 2^1 \\[1.1ex] 2^1 & 2^1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= \begin{pmatrix} 4 & 4 \\[1.1ex] 4 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^2 & 2^2 \\[1.1ex] 2^2 & 2^2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= \begin{pmatrix} 8 & 8 \\[1.1ex] 8 & 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^3 & 2^3 \\[1.1ex] 2^3 & 2^3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= \begin{pmatrix} 16 & 16 \\[1.1ex] 16 & 16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^4 & 2^4 \\[1.1ex] 2^4 & 2^4 \end{pmatrix}$

Nous pouvons donc dériver la formule de la nième puissance de la matrice

$A:$

Et à partir de cette formule, nous pouvons calculer

$A^{100}:$

exercice résolu pas à pas de puissance d'une matrice 2x2

Problèmes résolus de puissances de matrices

Exercice 1

Soit la matrice suivante de dimension 2×2 :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix}$

Calculer:

$\displaystyle A^4$

voir solution

Pour calculer la puissance d’une matrice, il faut multiplier la matrice une par une. Par conséquent, nous calculons d’abord

$\displaystyle A^2 :$

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\[1.1ex] -2 & -1\end{pmatrix}$

Maintenant on calcule

$\displaystyle A^3 :$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\[1.1ex] -2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -5 & 2 \\[1.1ex] -1 & -5 \end{pmatrix}$

Et enfin on calcule

$\displaystyle A^4 :$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\[1.1ex] -1 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-8} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-7} \end{pmatrix}$

Exercice 2

Soit la matrice d’ordre 2 suivante :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix}$

Calculer:

$\displaystyle A^{35}$

voir solution

$\displaystyle A^{35}$ est une puissance trop grande pour être calculée à la main, de sorte que les puissances de la matrice doivent suivre un modèle. Alors calculons $\displaystyle A^5$ pour essayer de comprendre la séquence qu’ils suivent:

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 243 \end{pmatrix}$

De cette façon, nous pouvons voir le modèle que suivent les puissances : à chaque puissance, tous les nombres restent les mêmes, sauf l’élément de la deuxième colonne de la deuxième ligne, qui est multiplié par 3. Par conséquent, tous les nombres restent toujours les mêmes. et le dernier élément est une puissance de 3 :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^4 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 243 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^5 \end{pmatrix}$

Donc la formule de la nième puissance de la matrice

$\displaystyle A$ est:

$\displaystyle A^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^n\end{pmatrix}$

Et à partir de cette formule, nous pouvons calculer

$\displaystyle A^{35}:$

$\displaystyle\bm{A^{35}=}\begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{3^{35}}\end{pmatrix}$

Exercice 3

Soit la matrice 3×3 suivante :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Calculer:

$\displaystyle A^{100}$

voir solution

$\displaystyle A^{100}$ est une puissance trop grande pour être calculée à la main, de sorte que les puissances de la matrice doivent suivre un modèle. Alors calculons $\displaystyle A^5$ pour essayer de comprendre la séquence qu’ils suivent:

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{5} & \frac{5}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

De cette façon, nous pouvons voir le modèle que suivent les puissances : à chaque puissance, tous les nombres restent les mêmes, sauf les fractions, qui augmentent d’une unité au numérateur :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^2= \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{5} & \frac{5}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Donc la formule de la puissance de la nième matrice

$\displaystyle A$ est:

$\displaystyle A^n= \begin{pmatrix} 1 & \frac{n}{5} & \frac{n}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Et à partir de cette formule, nous pouvons calculer

$\displaystyle A^{100}:$

$\displaystyle A^{100}= \begin{pmatrix} 1 & \frac{100}{5} & \frac{100}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{20} & \bm{20} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{1} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{0} & \bm{1} \end{pmatrix}$

Exercice 4

Soit la matrice suivante de taille 2×2 :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Calculer:

$\displaystyle A^{201}$

voir solution

$\displaystyle A^{201}$ est une puissance trop grande pour être calculée à la main, de sorte que les puissances de la matrice doivent suivre un modèle. Dans ce cas, il faut calculer $\displaystyle A^{8}$ afin de connaître la séquence qu’ils suivent:

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix} = \bm{I}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^6= A^5 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^7= A^6 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^8= A^7 \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix} = \bm{I}$

Avec ces calculs, nous pouvons voir que toutes les 4 puissances, nous obtenons la matrice d’identité. C’est-à-dire qu’il nous donnera comme résultat la matrice identité des puissances

$\displaystyle A^4$ , $\displaystyle A^8$ , $\displaystyle A^{12}$ , $\displaystyle A^{16}$ ,… Donc pour calculer $\displaystyle A^{201}$ il faut décomposer 201 en multiples de 4 :

exercice résolu pas à pas des puissances des matrices 2x2 et puissance n

$\displaystyle 201= 4 \cdot 50 +1$ , pourtant, $A^{201}$ ce sera 50 fois $\displaystyle A^{4}$ et une fois $\displaystyle A^{1}:$

$\displaystyle A^{201}=\left(A^4 \right)^{50} \cdot A^1$

Et comment savons-nous que

$\displaystyle A^4$ est la matrice identité $\displaystyle I :$

$\displaystyle A^4 =I$

$\displaystyle A^{201}=\left(A^4 \right)^{50} \cdot A^1 = I^{50}\cdot A$

De plus, la matrice identité élevée à un nombre quelconque donne la matrice identité. Pourtant:

$\displaystyle A^{201}= I^{50}\cdot A = I \cdot A$

Et enfin, toute matrice multipliée par la matrice d’identité donne la même matrice. Donc:

$\displaystyle A^{201}= I \cdot A = A$

Pour ce que

$A^{201}$ est égal à $A:$

$\displaystyle A^{201}= A =\begin{pmatrix} \bm{0} & \bm{-1} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{0} \end{pmatrix}$

Exercice 5

Soit la matrice d’ordre 3 suivante :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

Calculer:

$\displaystyle A^{62}$

voir solution

Évidemment, calculez la puissance de la matrice

$\displaystyle A^{62}$ C’est un calcul trop important pour être fait à la main, donc les puissances de la matrice doivent suivre un modèle. Dans ce cas, il faut calculer $\displaystyle A^{6}$ afin de connaître la séquence qu’ils suivent:

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^6= A^5 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Avec ces calculs, nous pouvons voir que toutes les 3 puissances, nous obtenons la matrice d’identité. C’est-à-dire qu’il nous donnera comme résultat la matrice identité des puissances

$\displaystyle A^3$ , $\displaystyle A^6$ , $\displaystyle A^{9}$ , $\displaystyle A^{12}$ ,… Si bien que pour calculer $\displaystyle A^{62}$ Il faut décomposer 62 en multiples de 3 :

exercice résolu pas à pas d'une puissance d'une matrice 3x3, nième puissance

$\displaystyle 62= 3 \cdot 20 +2$ , pourtant, $\displaystyle A^{62}$ ce sera 20 fois $\displaystyle A^{3}$ et une fois $\displaystyle A^{2}:$

$\displaystyle A^{62}=\left(A^3 \right)^{20} \cdot A^2$

Et comment savons-nous que

$\displaystyle A^3$ est la matrice identité $\displaystyle I :$

$\displaystyle A^3 =I$

$\displaystyle A^{62}=\left(A^3 \right)^{20} \cdot A^2 = I^{20}\cdot A^2$

De plus, la matrice identité élevée à un nombre quelconque donne la matrice identité. Pourtant:

$\displaystyle A^{62}= I^{20}\cdot A^2 = I \cdot A^2$

Enfin, toute matrice multipliée par la matrice d’identité donne la même matrice. Pourtant:

$\displaystyle A^{62}= I \cdot A^2 = A^2$

Pour ce que

$A^{62}$ sera égal à $A^{2}$ , dont nous avons calculé le résultat précédemment :

$\displaystyle A^{62}= A^2=\begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{3} & \bm{1} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{-2} & \bm{-1} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{1} & \bm{-1} \end{pmatrix}$

Si ces exercices sur les puissances des matrices carrées vous ont été utiles, vous pouvez également trouver des exercices résolus pas à pas sur l’addition et la soustraction de matrices , l’une des opérations les plus utilisées avec les matrices.

Comment est calculée la puissance d’une matrice ?

Exemple de calcul de la puissance d’une matrice :

Quelle est la puissance n d’une matrice ?

Exemple de calcul de la puissance n d’une matrice :

Problèmes résolus de puissances de matrices

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

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