Théorème de Rouche – Frébenius

Sur cette page nous allons découvrir ce qu’est le théorème de Rouché Frobenius et comment calculer le rang d’une matrice avec lui. Vous trouverez également des exemples et des exercices résolus pas à pas avec le théorème de Rouché-Frobenius.

Qu’est-ce que le théorème de Rouché-Frobenius ?

Le théorème de Rouché-Frobenius est une méthode qui permet de classer les systèmes d’équations linéaires. Autrement dit, le théorème de Rouché-Frobenius est utilisé pour savoir combien de solutions un système d’équations a sans avoir à le résoudre.

Il existe 3 types de systèmes d’équations :

Système compatible déterminé (SCD) : le système a une solution unique.
Système compatible indéterminé (SCI) : le système a une infinité de solutions.
Système incompatible (SI) : le système n’a pas de solution.

De plus, le théorème de Rouché-Frobenius nous permettra aussi plus tard de résoudre des systèmes par la règle de Cramer .

Énoncé du théorème de Rouché-Frobenius

Le théorème de Rouché-Frobenius dit que

$\displaystyle \bm{A}$ est la matrice formée par les coefficients des inconnues d’un système d’équations. et le ventre $\displaystyle \bm{A'}$ , ou matrice étendue , est la matrice formée par les coefficients des inconnues d’un système d’équations et les termes indépendants :

Le théorème de Rouché-Frobenius permet de savoir à quel type de système d’équations on a affaire selon le rang des matrices A et A’ :

Si rang(A) = rang(A’) = nombre d’inconnues ⟶ Système compatible déterminé (SCD)
Si rang(A) = rang(A’) < nombre d’inconnues ⟶ Système compatible indéterminé (SCI)
si gamme(A) $\bm{\neq}$ plage (A’) ⟶ Système incompatible (SI)

Une fois que nous savons ce que dit le théorème de Rouché-Frobenius, nous allons voir comment résoudre les exercices du théorème de Rouché-Frobenius. Voici donc 3 exemples : un exercice résolu à l’aide du théorème de chaque type de système d’équations.

Exemple de système compatible déterminé (SCD)

$\begin{cases} 2x+y-3z=0 \\[1.5ex] x+2y-z= 1 \\[1.5ex] 4x-2y+z = 3\end{cases}$

La matrice A et la matrice étendue A’ du système sont :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -3 \\[1.1ex] 1 & 2 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 1 & 2 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 1 & 3\end{array} \right)$

On calcule maintenant le rang de la matrice A. Pour ce faire, on vérifie si le déterminant de toute la matrice est différent de 0 :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\[1.1ex] 1 & 2 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 25 \neq 0$

Comme la matrice a un déterminant 3×3 différent de 0, la matrice A est de rang 3 :

$\displaystyle rg(A)=3$

Une fois qu’on connaît le rang de A, on calcule le rang de A’, qui sera au moins de rang 3 car on vient de voir qu’il a à l’intérieur un déterminant d’ordre 3 différent de 0. De plus, il ne peut pas être de rang 4, puisqu’on ne peut faire aucun déterminant d’ordre 4. Donc, la matrice A’ est aussi de rang 3 :

$\displaystyle rg(A')=3$

Ainsi, puisque le rang de la matrice A est égal au rang de la matrice A’ et au nombre d’inconnues du système (3), on sait par le théorème de Rouché Frobenius qu’il s’agit d’un Système Déterminé Compatible (SCD) :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Exemple de système compatible indéterminé (ICS)

$\begin{cases} x-y+2z=1 \\[1.5ex] 3x+2y+z= 5 \\[1.5ex] 2x+3y-z = 4\end{cases}$

La matrice A et la matrice étendue A’ du système sont :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 & 5 \\[1.1ex] 2 & 3 & -1 & 4 \end{array} \right)$

On calcule maintenant le rang de la matrice A. Pour ce faire, on vérifie si le déterminant de toute la matrice est différent de 0 :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$

Le déterminant de toute la matrice A donne 0, donc elle n’est pas de rang 3. Pour voir si elle est de rang 2, il faut trouver une sous-matrice dans A dont le déterminant est différent de 0. Par exemple, celle du haut coin gauche :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{vmatrix} = 5 \neq 0$

Comme la matrice a un déterminant 2×2 différent de 0, la matrice A est de rang 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Une fois que nous connaissons le rang de A, nous calculons le rang de A’. On sait déjà que le déterminant des 3 premières colonnes donne 0, on essaie donc les autres déterminants 3×3 possibles :

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & -1 & 1 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \\[1.1ex] 2 & 3 & 4\end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 5 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4\end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 1 & 5 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4\end{vmatrix} = 0$

Tous les déterminants 3×3 de la matrice A’ sont 0, donc la matrice A’ ne sera pas non plus de rang 3. Cependant, à l’intérieur elle a bien des déterminants d’ordre 2 différents de 0. Par exemple :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{vmatrix} = 5 \neq 0$

Donc la matrice A’ sera de rang 2 :

$\displaystyle rg(A')=2$

L’étendue de la matrice A est égale à l’étendue de la matrice A’ mais celles-ci sont inférieures au nombre d’inconnues du système (3). Par conséquent, selon le théorème de Rouché-Frobenius, il s’agit d’un système compatible indéterminé (SCI) :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Exemple de système incompatible (SI)

$\begin{cases} 2x+y-2z=3 \\[1.5ex] 3x-2y+z= 2 \\[1.5ex] x+4-5z = 3 \end{cases}$

La matrice A et la matrice étendue A’ du système sont :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -2 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 4 & -5 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 1 & 4 & -5 & 3 \end{array} \right)$

On calcule maintenant le rang de la matrice A. Pour ce faire, on vérifie si le déterminant de toute la matrice est différent de 0 :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 4 & -5 \end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -7 \neq 0$

Comme la matrice a un déterminant d’ordre 2 différent de 0, la matrice A est de rang 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Une fois que nous connaissons le rang de A, nous calculons le rang de A’. On sait déjà que le déterminant des 3 premières colonnes donne 0, alors maintenant on essaie, par exemple, avec le déterminant des 3 dernières colonnes :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 4 & -5 & 3 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$

Par contre, la matrice A’ contient bien un déterminant dont le résultat est différent de 0, donc la matrice A’ aura le rang 3 :

$\displaystyle rg(A')=3$

Donc, puisque le rang de la matrice A est plus petit que le rang de la matrice A’, on déduit du théorème de Rouché-Frobenius qu’il s’agit d’un Système Incompatible (SI) :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Problèmes résolus du théorème de Rouché – Frobenius

Exercice 1

Déterminer le type du système d’équations à 3 inconnues suivant à l’aide du théorème de Rouché-Frobenius :

Exercice résolu du théorème de Rouche - frobenius

voir solution

On fait d’abord la matrice A et la matrice étendue A’ du système :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -1 & -1 \\[1.1ex] -2 & 4 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -1 & -1 & 2 \\[1.1ex] -2 & 4 & 2 & 8 \end{array} \right)$

Il faut maintenant trouver le rang de la matrice A. Pour cela, on vérifie si le déterminant de la matrice est différent de 0 :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -1 & -1 \\[1.1ex] -2 & 4 & 2 \end{vmatrix} = -4+2-36+6+8-6=-30 \bm{\neq 0}$

La matrice ayant un déterminant de troisième ordre différent de 0, la matrice A est de rang 3 :

$\displaystyle rg(A)=3$

Une fois que nous connaissons le rang de A, nous calculons le rang de A’. Celui-ci sera au moins de rang 3, car nous venons de voir qu’il a à l’intérieur un déterminant d’ordre 3 différent de 0. De plus, il ne peut pas être de rang 4, puisqu’on ne peut pas faire de déterminant 4×4. Donc, la matrice A’ est aussi de rang 3 :

$\displaystyle rg(A')=3$

Ainsi, grâce au théorème de Rouché-Frobenius, nous savons qu’il s’agit d’un système compatible déterminé (SCD), car la plage de A est égale à la plage de A’ et au nombre d’inconnues.

Exercice 2

Classer le système d’équations à 3 inconnues suivant à l’aide du théorème de Rouché-Frobenius :

voir solution

On construit tout d’abord la matrice A et la matrice étendue A’ du système :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\[1.1ex] 1 & 2 & -2 \\[1.1ex] 1 & -5 & 6 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 2 & -2 & 5 \\[1.1ex] 1 & -5 & 6 & -9 \end{array} \right)$

Calculons maintenant la plage de la matrice A :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\[1.1ex] 1 & 2 & -2 \\[1.1ex] 1 & -5 & 6 \end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 2 \end{vmatrix} = 7 \neq 0$

Donc la matrice A est de rang 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

$\displaystyle \begin{vmatrix}-1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 \\[1.1ex] -5 & 6 & -9\end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & -2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -9\end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & -5 & -9\end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] 2 & -2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$

Donc la matrice A’ sera de rang 2 :

$\displaystyle rg(A')=2$

Le rang de la matrice A est égal au rang de la matrice A’ mais ces deux sont inférieurs au nombre d’inconnues du système (3). Par conséquent, par le théorème de Rouché-Frobenius, nous savons qu’il s’agit d’un système compatible indéterminé (SCI):

Exercice 3

Déterminez quel type de système est le système d’équations suivant en utilisant le théorème de Rouché-Frobenius :

exercice résolu pas à pas du théorème de rouche - frobenius

voir solution

On fait d’abord la matrice A et la matrice étendue A’ du système :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 3 & -1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 7 & -1 & 0 \end{array} \right)$

Calculons maintenant la plage de la matrice A :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -1\end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -13 \neq 0$

Donc la matrice A est de rang 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Une fois que nous connaissons le rang de A, nous calculons le rang de A’. On sait déjà que le déterminant des 3 premières colonnes donne 0, mais pas le déterminant des 3 dernières colonnes :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 4 & -2 & 3 \\[1.1ex]-1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 7 & -1 & 0 \end{vmatrix} = -40 \neq 0$

Donc, la matrice A’ est de rang 3 :

$\displaystyle rg(A')=3$

Le rang de la matrice A est plus petit que le rang de la matrice A’, on peut donc déduire du théorème de Rouché-Frobenius qu’il s’agit d’un Système Incompatible (SI) :

Exercice 4

Déterminer le type du système d’équations à 3 inconnues suivant à l’aide du théorème de Rouché-Frobenius :

Rouche - Théorème de Frobenius résolu exercice avec 3 inconnues et 3 équations

voir solution

On fait d’abord la matrice A et la matrice étendue A’ du système :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 5 & -3 & -2 \\[1.1ex] 1 & 4 & 1 \\[1.1ex]-3 & 2 & -2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 5 & -3 & -2 & -2 \\[1.1ex] 1 & 4 & 1 & 7 \\[1.1ex]-3 & 2 & -2 & 3 \end{array} \right)$

Il faut maintenant calculer le rang de la matrice A. Pour cela, on résout le déterminant de la matrice avec la règle de Sarrus :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 5 & -3 & -2 \\[1.1ex] 1 & 4 & 1 \\[1.1ex]-3 & 2 & -2 \end{vmatrix} = -40+9-4-24-10-6=-75 \bm{\neq 0}$

La matrice ayant un déterminant de troisième ordre différent de 0, la matrice A est de rang 3 :

$\displaystyle rg(A)=3$

Donc, la matrice A’ est aussi de rang 3 , puisqu’elle est toujours au moins de rang A et elle ne peut pas être de rang 4 car on ne peut résoudre aucun déterminant 4×4.

$\displaystyle rg(A')=3$

Ainsi, grâce à l’application du théorème de Rouché-Frobenius, nous savons que le système est un Système Déterminé Compatible (SCD), car la plage de A est égale à la plage de A’ et au nombre d’inconnues.

Exercice 5

Identifiez quel type de système est le système d’équations suivant grâce au théorème de Rouché-Frobenius :

exemple du théorème de rouche - frobenius

voir solution

On fait d’abord la matrice A et la matrice étendue A’ du système :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 7 & 3 \\[1.1ex] -5 & 8 & 0 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 3 & 5 \\[1.1ex] -1 & 7 & 3 & -3 \\[1.1ex] -5 & 8 & 0 & 9 \end{array} \right)$

Calculons maintenant la plage de la matrice A :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 7 & 3 \\[1.1ex] -5 & 8 & 0\end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 \end{vmatrix} = 27 \neq 0$

La matrice A est donc de rang 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Une fois que nous connaissons le rang de A, nous calculons le rang de A’. Le déterminant des 3 premières colonnes que nous connaissons déjà donne 0, mais le déterminant des 3 dernières colonnes ne donne pas :

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 3 & 5 \\[1.1ex] 7 & 3 & -3 \\[1.1ex] 8 & 0 & 9\end{vmatrix} = -408 \neq 0$

Donc, la matrice A’ est de rang 3 :

$\displaystyle rg(A')=3$

Et, enfin, on applique le domaine au théorème de Rouché-Frobenius : le domaine de la matrice A est plus petit que le domaine de la matrice A’, c’est donc un Système Incompatible (SI) :

Exercice 6

Classifier le système d’équations d’ordre 3 suivant avec le théorème de Rouché-Frobenius :

$\begin{cases} 6x-2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+4y+3z= 7 \\[1.5ex] 8x-6y+z = -6\end{cases}$

voir solution

On construit tout d’abord la matrice A et la matrice étendue A’ du système :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 6 & -2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 4 & 3 \\[1.1ex] 8 & -6 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 6 & -2 & 4 & 1 \\[1.1ex] -2 & 4 & 3 & 7 \\[1.1ex] 8 & -6 & 1 & -6 \end{array} \right)$

Calculons maintenant la plage de la matrice A :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 6 & -2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 4 & 3 \\[1.1ex] 8 & -6 & 1 \end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] -2 & 4 \end{vmatrix} = 20 \neq 0$

Donc la matrice A est de rang 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -2 & 4 & 1 \\[1.1ex]4 & 3 & 7 \\[1.1ex] -6 & 1 & -6\end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}6 & 4 & 1 \\[1.1ex] -2 & 3 & 7 \\[1.1ex] 8 & 1 & -6\end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix} 6 & -2 & 1 \\[1.1ex] -2 & 4 & 7 \\[1.1ex] 8 & -6 & -6\end{vmatrix} = 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] -2 & 4 \end{vmatrix} = 20 \neq 0$

Donc la matrice A’ sera de rang 2 :

$\displaystyle rg(A')=2$

Enfin, en appliquant le théorème de Rouché-Frobenius, on sait qu’il s’agit d’un Système Compatible Indéterminé (SCI), car la plage de la matrice A est égale à la plage de la matrice A’ mais ces deux sont plus petites que le nombre d’inconnues du système (3):

Qu’est-ce que le théorème de Rouché-Frobenius ?

Énoncé du théorème de Rouché-Frobenius

Exemple de système compatible déterminé (SCD)

Exemple de système compatible indéterminé (ICS)

Exemple de système incompatible (SI)

Problèmes résolus du théorème de Rouché – Frobenius

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

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