Sur cette page, vous verrez comment soustraire deux vecteurs, à la fois graphiquement et numériquement. Pour les soustraire graphiquement il existe trois méthodes : le parallélogramme, le triangle et le polygone. Ici, vous pouvez différencier les avantages et les inconvénients de chaque méthode. De plus, vous trouverez des exemples, des exercices et des problèmes résolus étape par étape.
Comment soustraire graphiquement deux vecteurs ?
Il existe plusieurs façons de soustraire géométriquement des vecteurs. Évidemment, avec toutes, le même résultat est obtenu, mais nous vous expliquerons toutes les méthodes afin que vous puissiez choisir celle que vous préférez. 👌
Pour ne soustraire que 2 vecteurs, il existe deux procédures graphiques : la méthode du parallélogramme et la méthode du triangle . Cependant, si nous voulons résoudre la soustraction de 3 vecteurs ou plus, nous devons utiliser la méthode du polygone .
Alors, et sans plus tarder, vous avez les explications de toutes ces méthodes ci-dessous.
Méthode ou règle du parallélogramme
La règle du parallélogramme ou méthode du parallélogramme est une procédure qui permet de trouver la soustraction de deux vecteurs à travers sa représentation graphique de manière très simple. Les étapes à suivre pour appliquer ce processus sont les suivantes :
- Premièrement, nous représentons les deux vecteurs sur le graphique et les positionnons au même point d’application, c’est-à-dire que nous plaçons les origines des deux vecteurs au même point.
- Deuxièmement, nous dessinons le vecteur opposé du vecteur qui est soustrait dans l’opération, ou en d’autres termes, nous inversons le vecteur qui se soustrait.
- Ensuite, nous traçons une ligne parallèle au vecteur changé de signe à la fin du vecteur qui s’ajoute. Et nous répétons le processus avec l’autre vecteur. De sorte que nous obtiendrons le dessin d’un parallélogramme (d’où le nom de la règle).
- Enfin, le résultat de la soustraction sera le vecteur qui va de l’origine commune des deux vecteurs au point où les deux droites parallèles se croisent.
Considérez l’exemple générique suivant dans lequel deux vecteurs sont soustraits à l’aide de la méthode du parallélogramme :
Méthode ou règle du triangle
La méthode du triangle est une autre procédure avec laquelle deux vecteurs peuvent être soustraits de leur graphique. Dans ce cas, les étapes à suivre sont :
- Placer les deux vecteurs au même point d’application, c’est-à-dire de manière à ce que les deux vecteurs aient le même point que leur origine.
- Le résultat de la soustraction vectorielle est le segment qui va de la fin du vecteur soustracteur à la fin de l’autre vecteur. Si vous regardez bien, un triangle se complète avec les deux vecteurs soustraits et le vecteur soustrait.
Voici un exemple de soustraction vectorielle avec la méthode du triangle :
Cette façon de soustraire des vecteurs est similaire à la méthode tête et queue utilisée pour additionner des vecteurs .
méthode du polygone
Une fois que nous avons vu comment résoudre graphiquement la soustraction de deux vecteurs, nous allons voir comment cela se fait lorsque nous avons plus de deux vecteurs.
Lorsque l’on veut soustraire trois vecteurs ou plus, il existe une technique pour aller plus vite dans le calcul et soustraire tous les vecteurs d’un coup. Cette technique est appelée méthode des polygones et consiste à appliquer successivement la méthode tête-bêche d’addition vectorielle.
Maintenant vous pensez sûrement : à l’ ajout de vecteurs ? C’est mal corrigé… Et bien non ! il il
Il s’avère que soustraire deux vecteurs équivaut à ajouter un vecteur plus le vecteur opposé (ou négatif) du vecteur soustracteur. Ceci est dû aux propriétés d’addition et de soustraction des vecteurs :
Par conséquent, les étapes que nous devons suivre pour soustraire 3 vecteurs ou plus avec la méthode du polygone sont :
- Tout d’abord, nous devons trouver le vecteur inverse de chaque vecteur de soustraction. C’est aussi simple que d’inverser la direction et le sens de tous les vecteurs qui sont soustraits.
- Ensuite, nous plaçons chaque vecteur opposé à côté du vecteur que vous ne soustrayez pas, l’un après l’autre. De sorte que l’origine d’un vecteur coïncide avec la fin d’un autre vecteur.
- Enfin, le résultat de la soustraction vectorielle est le vecteur obtenu en joignant le début du premier vecteur à la fin du dernier vecteur.
Regardez l’exemple suivant où une soustraction est faite avec 4 vecteurs :
A noter que pour trouver le vecteur opposé d’un vecteur, les deux composantes dudit vecteur doivent changer de signe.
Comment calculer numériquement la soustraction de deux vecteurs ?
Une fois que nous savons déjà comment soustraire des vecteurs du graphe, nous allons voir comment calculer numériquement ou algébriquement une soustraction vectorielle.
Pour soustraire numériquement deux vecteurs, vous devez soustraire leurs composantes respectives. Ou en d’autres termes, les coordonnées X des deux vecteurs sont soustraites l’une de l’autre et de même avec les coordonnées Y.
Par exemple, la soustraction entre les vecteurs
et
est:
![\begin{aligned} \vv{\text{u}} - \vv{\text{v}}& =(4,1) -(2, 3) \\[2ex] & = (4-2,1-3) \\[2ex] & = \bm{(2,-2)} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a5497555b19f5d230433a622a03704ee_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Problèmes résolus de soustraction vectorielle
Exercice 1
Calculer graphiquement la soustraction de vecteurs
moins 
Pour soustraire les deux vecteurs, nous utiliserons la méthode du triangle. Les points sont déjà placés au même point d’application (l’origine des coordonnées), donc le résultat de la soustraction sera le vecteur qui va de la fin de
à la fin de 
Exercice 2
Trouver graphiquement la soustraction des vecteurs
moins
Pour soustraire les deux vecteurs, nous utiliserons la règle du triangle. Les points sont déjà placés au même point d’application (au début de l’axe X et de l’axe Y), donc le résultat de la soustraction sera le vecteur qui va de la fin de
à la fin de
Exercice 3
Résolvez graphiquement l’opération vectorielle suivante :
Puisqu’il y a plus de 2 vecteurs, nous utiliserons la règle du polygone pour résoudre la soustraction vectorielle. Pour ce faire, nous devons représenter les vecteurs opposés des vecteurs restants les uns après les autres. Et le résultat sera le vecteur qui part de l’origine du vecteur
jusqu’à l’endroit où se termine le dernier vecteur opposé.
Exercice 4
Déterminer numériquement le résultat de la soustraction des vecteurs suivants :
Pour soustraire numériquement deux vecteurs il faut soustraire leurs coordonnées respectives :
![\begin{aligned} \vv{a}-\vv{b}& =(-1,5)-(3,-2) \\[2ex] & = (-1-3 ,5-(-2))\\[2ex] & = (-4 ,5+2)\\[2ex] & =\bm{(-4,7)} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b64aac805c6565b57ac1d33977988013_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exercice 5
Résolvez analytiquement l’opération vectorielle suivante :
Pour soustraire des vecteurs numériquement (ou analytiquement) nous devons soustraire leurs composantes respectives :
![\begin{aligned} \vv{a}-\vv{b}-\vv{d}-\vv{d}& =(2,4)-(-1,4)-(0,2)-(3,-7) \\[2ex] & =(3,0)-(0,2)-(3,-7) \\[2ex] & =(3,-2)-(3,-7) \\[2ex]& =\bm{(0,5)} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa640e47728e968a9626c295f237f93c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")