Équation vectorielle de la droite

Sur cette page, vous trouverez comment calculer l’équation vectorielle de la droite. De plus, vous pourrez voir plusieurs exemples et pratiquer avec des exercices résolus. Et vous découvrirez également comment les points d’une ligne sont obtenus à partir de son équation vectorielle.

Quelle est l’équation vectorielle de la droite ?

Rappelez-vous que la définition mathématique d’une ligne est un ensemble de points consécutifs qui sont représentés dans la même direction sans courbes ni angles.

Ainsi, l’ équation vectorielle de la ligne est un moyen d’exprimer mathématiquement n’importe quelle ligne. Et, pour cela, il suffit d’un point qui appartient à la droite et du vecteur directeur de la droite.

Comment est calculée l’équation vectorielle de la droite ?

Ouais

$\vv{\text{v}}$ est le vecteur directeur de la droite et $P$ un point qui appartient à la droite :

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P_1,P_2)$

La formule de l’ équation vectorielle de la droite est :

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

Où:

$x$ et $y$ sont les coordonnées cartésiennes de tout point de la ligne.
$P_1$ et $P_2$ sont les coordonnées d’un point connu qui fait partie de la ligne.
$\text{v}_1$ et $\text{v}_2$ sont les composantes du vecteur directeur de la droite.
$t$ est un scalaire (un nombre réel) dont la valeur dépend de chaque point de la droite.

C’est l’équation vectorielle de la droite dans le plan, c’est-à-dire lorsque l’on travaille avec des points et des vecteurs de 2 coordonnées (dans R2). Cependant, si nous faisions des calculs dans l’espace (en R3), nous devrions ajouter un composant supplémentaire à l’équation de la droite :

$(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)$

D’autre part, gardez à l’esprit qu’en dehors de l’équation vectorielle, il existe d’autres façons d’exprimer analytiquement une ligne : les équations paramétriques, l’équation continue, l’équation implicite (ou générale), l’équation explicite et l’équation point-pente d’une ligne. Vous pouvez voir tous les types d’équations de la ligne dans ce lien.

Exemple de comment trouver l’équation vectorielle de la droite

Voyons comment l’équation vectorielle de la ligne est déterminée à partir d’un exemple :

Ecrire l’équation vectorielle de la droite qui passe par le point $P$ et a $\vv{\text{v}}$ comme vecteur directeur :

$\vv{\text{v}}= (1,2) \qquad P(3,0)$

Pour trouver l’équation vectorielle de la droite, il suffit d’appliquer sa formule :

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(3,0)+t\cdot (1,2)$

Obtenir des points à partir de l’équation vectorielle de la droite

Une fois que l’on a trouvé l’équation vectorielle de la droite, il est très facile de calculer les points par lesquels passe la droite. Pour déterminer un point sur une droite il suffit de donner une valeur au paramètre

$\bm{t}$ de l’équation vectorielle de la droite.

Par exemple, étant donné l’équation vectorielle suivante de la droite :

$(x,y)=(1,-1)+t\cdot (2,3)$

Un point est marqué en remplaçant

$t$ par n’importe quel nombre, par exemple $t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}$

Et on peut calculer un autre point sur la droite donnant l’inconnu

$t$ un numéro différent, par exemple $t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}$

Par conséquent, nous pouvons obtenir une infinité de points sur la ligne, car la variable

$t$ peut prendre des valeurs infinies.

Problèmes résolus de l’équation vectorielle de la droite

Exercice 1

Trouver l’équation vectorielle de la droite qui passe par le point

$P$ et dont le vecteur directeur est $\vv{\text{v}}:$

$P(-1,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4,-2)$

voir solution

Pour calculer l’équation vectorielle de la droite il suffit d’appliquer sa formule :

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

Exercice 2

Calculez trois points qui sont sur la ligne du problème précédent.

voir solution

Pour obtenir des points à partir d’une ligne décrite avec l’équation vectorielle, des valeurs doivent être données au paramètre

$t.$ L’équation vectorielle calculée dans le problème précédent est :

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

Pour calculer un point on substitue l’inconnu

$t$ par exemple par $t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}$

Pour trouver un second point on donne

$t$ par exemple la valeur de $t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}$

Et, enfin, nous obtenons le troisième point en attribuant

$t$ la valeur de $t=3:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}$

Vous avez peut-être obtenu des points différents, car cela dépend des valeurs que vous donnez au paramètre

$t.$ Mais si vous avez suivi la même procédure, tout va bien.

Exercice 3

Soit deux points :

$A(5,1) \qquad B(3,-2)$

Trouvez l’équation vectorielle de la droite qui passe par ces deux points.

voir solution

Dans ce cas nous n’avons pas le vecteur directeur de la droite, il faut donc d’abord trouver son vecteur directeur puis l’équation de la droite.

Donc pour trouver le vecteur directeur de la droite il faut calculer le vecteur défini par les deux points donnés :

$\vv{AB}=B-A= (3,-2)- (5,1) = (-2,-3)$

Et une fois que l’on connaît déjà le vecteur directeur de la droite, on peut déterminer son équation vectorielle à partir de l’un des points donnés et de la formule :

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(5,1)+t\cdot (-2,-3)$

L’équation trouvée en mettant l’autre point donné dans la formule est également valable :

$(x,y)=(3,-2)+t\cdot (-2,-3)$

Quelle est l’équation vectorielle de la droite ?

Comment est calculée l’équation vectorielle de la droite ?

Exemple de comment trouver l’équation vectorielle de la droite

Obtenir des points à partir de l’équation vectorielle de la droite

Problèmes résolus de l’équation vectorielle de la droite

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

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