Équation explicite de la droite

Sur cette page, vous trouverez tout sur l’équation explicite d’une droite : qu’est-ce que c’est, quelle est sa formule, des exemples de calcul,… Vous trouverez également une explication détaillée de ce que signifient la pente et l’ordonnée à l’origine de l’équation explicite. Et, en plus, vous verrez différents exemples et vous pourrez vous entraîner avec des exercices résolus étape par étape.

Quelle est l’équation explicite de la droite ?

Rappelez-vous que la définition mathématique d’une ligne est un ensemble de points consécutifs qui sont représentés dans la même direction sans courbes ni angles.

Ainsi, l’ équation explicite de la ligne est une façon d’exprimer mathématiquement n’importe quelle ligne. Pour ce faire, il suffit de connaître la pente de la droite et le point où elle coupe l’axe Y.

Formule de l’équation explicite de la droite

La formule de l’ équation explicite de la droite est :

$y=mx+n$

Où

$m$ est la pente de la droite et $n$ son ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la hauteur à laquelle elle coupe l’axe Y.

Voyons comment l’équation explicite de la droite est calculée à travers un exemple :

Ecrire l’équation explicite de la droite qui passe par le point $P(3,1)$ et de pente m=2.

La formule de l’équation explicite de la droite est :

$y= mx+n$

Dans ce cas, l’énoncé nous dit que la pente de la droite est m=2, donc l’équation de la droite sera la suivante :

$y= 2x+n$

Il suffit donc de calculer le coefficient n. Pour ce faire, nous devons substituer un point qui appartient à la droite dans son équation. Et dans ce cas, l’énoncé nous dit que la droite passe par le point

$P(3,1),$ pourtant:

$P(3,1)$

$y= 2x+n \ \xrightarrow{x=3 \ ; \ y=1} \ 1=2\cdot 3 +n$

Et nous résolvons l’équation résultante pour trouver la valeur de n :

$1=2\cdot 3 +n$

$1=6 +n$

$1-6=n$

$-5 = n$

L’équation explicite de la droite est donc :

$\bm{y= 2x-5}$

Gardez à l’esprit qu’en dehors de l’équation explicite, il existe d’autres façons d’exprimer analytiquement une ligne. Par exemple, l’ équation vectorielle , qui est un type d’équation de droite différent de tous les autres car le vecteur directeur et un point de la droite sont exprimés avec leurs propres coordonnées. Dans le lien, vous pouvez voir en quoi il consiste et pourquoi il est si particulier.

Signification des paramètres m et n

Comme nous l’avons vu dans la définition de l’équation explicite de la droite, le paramètre

$m$ est la pente de la droite et $n$ son ordonnée à l’origine. Mais qu’est ce que ça veut dire? Voyons cela à partir de la représentation graphique d’une ligne :

Quelle est l'équation explicite de la droite y=mx+b

Le terme indépendant

$\bm{n}$ est le point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées (axe OY). Dans le graphique ci-dessus $n$ est égal à 1 car la droite coupe l’axe des y en y=1.

D’autre part, le terme

$\bm{m}$ indique la pente de la droite , c’est-à-dire son inclinaison. Comme vous le voyez sur le graphique, $m$ est égal à 2 puisque la droite s’élève de 2 unités verticales pour 1 unité horizontale.

Évidemment, si la pente est positive la fonction est croissante (monte), par contre si la pente est négative la fonction est décroissante (descend).

Calculer la pente d’une droite

Par ailleurs, il existe 3 manières différentes de déterminer numériquement la pente d’une droite :

Étant donné deux points différents sur la ligne $P_1(x_1,y_1)$ et $P_2(x_2,y_2),$ La pente de la droite est égale à :

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Ouais $\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2)$ est le vecteur directeur de la droite, sa pente vaut :

$m = \cfrac{\text{v}_2}{\text{v}_1}$

Ouais $\alpha$ est l’angle que forme la droite avec l’axe des abscisses (axe X), la pente de la droite est équivalente à la tangente dudit angle :

$m = \text{tg}(\alpha )$

formule de l'équation explicite de la droite

Position relative des lignes

Enfin, la pente d’une droite sert aussi à connaître la relation entre plusieurs droites. Puisque deux droites parallèles ont la même pente et, d’autre part, si la pente d’une droite est l’inverse négatif de la pente d’une autre droite, cela signifie que ces deux droites sont perpendiculaires .

Calculer l’équation explicite de la droite qui passe par deux points

Un problème très typique est de trouver l’équation explicite d’une droite à partir de deux points par lesquels elle passe. Voyons comment il est résolu à travers un exemple:

Déterminez l’équation explicite de la droite qui passe par les deux points suivants :

$P_1(4,-1) \qquad P_2(2,5)$

Pour trouver l’équation explicite de la droite, il faut savoir ce que valent les paramètres m et n. Nous calculons donc d’abord la pente de la ligne en utilisant la formule du côlon :

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{5-(-1)}{2-4} = \cfrac{6}{-2}= -3$

$y=-3x+n$

Et puis nous pouvons trouver l’ordonnée à l’origine en substituant un point sur la ligne dans l’équation :

$P_1(4,-1)$

$y= -3x+n \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ -1=-3\cdot 4 +n$

$-1 =-12+ n$

$-1 +12= n$

$11= n$

Donc l’équation explicite de la droite est :

$\bm{y=-3x+11}$

Trouver l’équation explicite à partir de l’équation implicite

Enfin, un autre type de problème que nous rencontrons souvent est de trouver l’équation explicite de la droite à partir de son équation implicite (également appelée équation générale ou cartésienne). Évidemment, pour comprendre la méthode suivante, vous devez savoir exactement quelle est l’ équation implicite et comment elle est ; mais si vous ne vous en souvenez pas du tout, vous pouvez le consulter dans le lien.

Donc, si vous maîtrisez déjà l’équation implicite (ou générale) d’une droite, voyons comment se déroule cette procédure :

Trouvez l’équation explicite de la droite suivante :

$3x-2y+8 =0$

Tout ce que nous avons à faire pour trouver l’équation explicite de la ligne est de résoudre pour la variable

$\bm{y}.$ Donc on passe les termes sans $y$ de l’autre côté de l’équation :

$-2y=-3x-8$

Maintenant, nous effaçons la variable

$y:$

$\displaystyle y=\frac{-3x-8}{-2}$

Et enfin, on simplifie :

$\displaystyle y=\frac{-3x}{-2} -\cfrac{8}{-2}$

$\displaystyle y=\frac{3x}{2} -(-4)$

$\displaystyle \bm{y=}\frac{\bm{3}}{\bm{2}}\bm{x +4}$

La pente de cette droite est donc

$\displaystyle \frac{3}{2}$ et son ordonnée à l’origine est 4.

Problèmes résolus d’équation explicite

Exercice 1

Donner la pente et l’ordonnée à l’origine des droites suivantes :

$\begin{array}{lll} A) \ y= 3x-1 & \qquad & B) \ y=5x+2 \\[2ex] C) \ y=-x+3 & \qquad & D) \ 4x+2y-6=0 \end{array}$

voir solution

L’équation explicite d’une droite suit la formule suivante :

$y=mx+n$

Où

$m$ est la pente et $n$ l’ordonnée à l’origine. Pourtant:

$\bm{A)} \ y= 3x-1 \ \begin{cases} m = 3 \\[2ex] n=-1\end{cases}$

$\bm{B)} \ y= 5x+2 \ \begin{cases} m = 5 \\[2ex] n=2 \end{cases}$

$\bm{C)} \ y= -x+3 \ \begin{cases} m = -1 \\[2ex] n=3\end{cases}$

La dernière ligne est exprimée par son équation implicite, nous devons donc d’abord la passer à une équation explicite (résoudre pour

$y$ ) puis on peut identifier les paramètres :

$\bm{D)} \ 4x+2y-6=0$

$2y =-4x+6$

$y =\cfrac{-4x+6}{2}$

$y =-2x+3$

$\begin{cases} m = -2 \\[2ex] n=3 \end{cases}$

Exercice 2

Trouver l’équation explicite de la droite qui passe par le point

$P(2,-3)$ et a pour pente $m=-2.$

voir solution

La formule de l’équation explicite de la droite est :

$y= mx+n$

Dans ce cas, la pente de la droite doit être -2, donc l’équation de la droite aura la forme suivante :

$y= -2x+n$

Il suffit donc de calculer le coefficient n. Pour ce faire, il faut substituer un point qui appartient à la droite dans son équation et résoudre l’équation résultante :

$P(2,-3)$

$y= -2x+n \ \xrightarrow{x=2 \ ; \ y=-3} \ -3=-2\cdot 2 +n$

$-3=-4 +n$

$-3+4= n$

$1= n$

En bref, l’équation explicite de la droite est :

$\bm{y= -2x+1}$

Exercice 3

Trouvez l’équation explicite de la droite qui passe par les deux points suivants :

$P_1(6,-1) \qquad P_2(3,2)$

voir solution

Pour trouver l’équation explicite de la droite, il faut savoir ce que valent les paramètres m et n. On calcule donc d’abord la pente de la droite à partir des coordonnées des deux points :

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{2-(-1)}{3-6} = \cfrac{3}{-3}= -1$

$y=-x+n$

Et puis nous déterminons l’ordonnée à l’origine en substituant un point sur la droite dans l’équation :

$P_1(6,-1)$

$y= -x+n \ \xrightarrow{x=6 \ ; \ y=-1} \ -1=-6 +n$

$-1 +6= n$

$5= n$

Donc l’équation explicite de la droite est :

$\bm{y=-x+5}$

Exercice 4

Calculez l’équation explicite de la droite qui forme un angle de 45º avec l’axe X et passe par l’origine des coordonnées.

voir solution

Si la droite fait un angle de 45 degrés avec l’axe OX, sa pente sera :

$m = \text{tg}(45º) = 1$

$y=x+n$

Et une fois que nous connaissons la pente de la droite, nous pouvons calculer l’ordonnée à l’origine en substituant un point sur la droite dans l’équation. De plus, l’énoncé nous dit que la ligne passe par l’origine des coordonnées, ce qui signifie qu’elle passe par le point (0,0). Pourtant:

$P(0,0)$

$y= x+n \ \xrightarrow{x=0 \ ; \ y=0} \ 0=0 +n$

$0= n$

Donc l’équation explicite de la droite est :

$\bm{y=x}$

Exercice 5

Trouver l’équation explicite de la droite parallèle à la droite

$r$ et ce qui se passe à travers le point $P(-2,4).$ être hétéro $r:$

$r: \; y=3x+4$

voir solution

Pour que la droite soit parallèle à la droite

$r,$ les deux doivent avoir la même pente, donc :

$m = 3$

$y=3x+n$

Et une fois que nous connaissons la pente de la droite, nous pouvons calculer l’ordonnée à l’origine en substituant le point qui appartient à la droite dans l’équation :

$P(-2,4)$

$y= 3x+n \ \xrightarrow{x=-2 \ ; \ y=4} \ 4=3\cdot (-2) +n$

$4=-6+ n$

$4+6= n$

$10= n$

Donc l’équation explicite de la droite est :

$\bm{y=3x+10}$

Exercice 6

Quelle est l’équation explicite de chaque droite représentée graphiquement ?

équation explicite de la ligne exercice résolu étape par étape

voir solution

bleu droit

La droite bleue augmente d’un Y pour chaque X, donc sa pente est égale à 1. Par contre, la droite coupe l’axe Y en 2, donc son ordonnée à l’origine vaut 2.

$y =x+2$

vert droit

La ligne verte augmente de 3 Ys pour chaque X, donc sa pente est de 3. De plus, la ligne coupe l’axe Y à -4, donc son ordonnée à l’origine est -4.

$y =3x-4$

ligne rouge

La ligne rouge diminue de deux Y pour chaque X, donc sa pente est égale à -2. Et la droite coupe l’axe des ordonnées en y=-2, de sorte que son ordonnée à l’origine vaut aussi -2.

$y =-2x-2$

Quelle est l’équation explicite de la droite ?

Formule de l’équation explicite de la droite

Signification des paramètres m et n

Calculer la pente d’une droite

Position relative des lignes

Calculer l’équation explicite de la droite qui passe par deux points

Trouver l’équation explicite à partir de l’équation implicite

Problèmes résolus d’équation explicite

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

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