Sur cette page, vous trouverez l’explication de ce qu’est un locus. De plus, vous pourrez voir plusieurs exemples de lieux pour bien comprendre le concept.
Qu’est-ce qu’un lieu ?
En géométrie analytique, un lieu est un ensemble de points qui satisfont à une certaine condition géométrique.
Il se peut qu’avec la simple définition d’un lieu, le concept ne vous ait pas été très clair, car il est difficile à comprendre. Voyons donc un exemple pour compléter sa signification :
Vous savez sûrement ce que sont les cercles, eh bien, un cercle est un exemple clair de lieu géométrique puisque tous les points du plan qui forment un cercle remplissent la même propriété géométrique : tous les points d’un cercle sont à la même distance d’un autre point fixe (le centre dudit cercle).
D’autre part, cette propriété géométrique que doivent satisfaire tous les points d’un lieu doit pouvoir s’exprimer mathématiquement au moyen d’équations algébriques.
Ainsi, les lieux sont utilisés pour définir différentes figures géométriques, ci-dessous sont les exemples des lieux les plus importants.
Exemples de lieux
Une fois que nous avons vu ce que signifie le lieu des points, nous passons maintenant à plusieurs exemples de lieux. Parmi elles, se détachent les sections dites coniques, qui sont la circonférence , l’ ellipse , la parabole et l’ hyperbole .
Ce groupe géométrique est appelé sections coniques car toutes peuvent être obtenues à partir d’un cône. Si vous voulez savoir comment cela se fait, vous pouvez consulter notre page sur les sections coniques , où vous trouverez une explication détaillée de ce qu’elles sont et pourquoi elles sont si importantes.
Circonférence
Comme nous l’avons vu précédemment, tout cercle est un lieu qui vérifie notamment la condition suivante :
La circonférence est le lieu des points du plan cartésien équidistants d’un point fixe appelé centre .
Comme vous le savez bien, cette distance entre le centre du cercle et l’un de ses points s’appelle le rayon.
La circonférence est une figure géométrique d’une importance particulière pour les mathématiques, car elle a de nombreuses applications. Vous pouvez voir comment définir un cercle numériquement en utilisant l’ équation du cercle . De plus, vous trouverez ici tous les types d’équations de la circonférence, ainsi que des problèmes liés et des exercices résolus à pratiquer.
Ellipse
L’ellipse est une ligne plate, fermée et incurvée très semblable à la circonférence, mais sa forme est plus ovale.
Plus précisément, l’ellipse est le lieu de tous les points du plan XY dont la somme des distances à deux autres points fixes (appelés foyers F et F’) est constante.
La façon d’exprimer analytiquement une ellipse est très similaire à celle d’un cercle. Si vous le souhaitez, vous pouvez aller sur ce lien pour savoir à quoi ressemble l’ équation réduite de l’ellipse , ici vous trouverez également quels sont les éléments qui définissent une ellipse et même différents exemples et exercices résolus.
Parabole
En mathématiques, une parabole est le lieu des points du plan qui sont équidistants d’un point fixe (appelé le foyer) et d’une ligne fixe (appelée la directrice).
Ci-dessous une parabole représentée graphiquement (courbe orange).
Nous nous sommes efforcés de concentrer tout ce que vous devez savoir sur la parabole sur une seule page. Là, tous les éléments qui décrivent une parabole y sont expliqués, ses différentes équations, les propriétés qu’elle possède, ses applications réelles,… Bref, dans le lien suivant vous pourrez tout savoir sur la parabole (mathématiques) .
Hyperbole
Une hyperbole est le lieu des points du plan qui remplissent la condition suivante : la valeur absolue de la différence des distances entre n’importe quel point de l’hyperbole et deux points fixes (appelés foyers) doit être constante.
De plus, la valeur de la soustraction de ces deux distances est toujours équivalente à la distance entre les deux sommets de l’hyperbole.
Dans la représentation graphique suivante, vous pouvez voir qu’une hyperbole est toujours formée de deux branches :
Comme vous pouvez le deviner, la valeur du paramètre
d’une hyperbole est fondamentale pour les hyperboles. Dans notre explication de l’ hyperbole , vous pourrez voir pourquoi c’est un coefficient si important ainsi que quels sont tous les éléments qui caractérisent une hyperbole. De plus, vous trouverez à quoi ressemble l’équation d’une hyperbole, les différents types d’hyperboles qui existent, et même des problèmes et exercices résolus pas à pas sur les hyperboles.
Plus d’exemples de lieux
Les types de loci les plus analysés au collège et au lycée sont les 4 précédents que nous avons vus, mais il existe aussi d’autres exemples de loci bien connus :
- Bissectrice : La bissectrice est le lieu des points équidistants de deux points fixes. De plus, si ces deux points sont les extrémités d’un segment, la bissectrice est aussi la droite perpendiculaire qui coupe ledit segment en son milieu. Si vous êtes plus intéressé, vous pouvez voir ici comment le point médian d’un segment est calculé.
- Bissectrice : La bissectrice est le lieu des points équidistants des côtés d’un angle. Autrement dit, la bissectrice est la ligne qui coupe un angle en deux.
- Droite parallèle : Une droite parallèle est le lieu des points qui sont à la même distance d’une droite donnée. Ou en d’autres termes, la distance entre deux lignes parallèles est toujours la même.