Sur cette page vous trouverez toutes les positions relatives possibles de deux plans (plans secs, parallèles ou coïncidents). Vous découvrirez également comment la position relative entre deux plans est calculée et, en plus, vous pourrez voir des exemples et vous entraîner avec des exercices résolus.
Quelles sont les positions relatives de deux plans ?
En géométrie analytique, il n’y a que trois positions relatives possibles entre deux plans : plans sécants, plans parallèles et plans coïncidents.
- Plans sécants : Deux plans sont sécants s’ils ne se coupent que sur une ligne.
- Plans parallèles : Deux plans sont parallèles s’ils ne se coupent en aucun point.
- Plans coïncidents : Deux plans sont coïncidents s’ils ont tous des points en commun.
plans sécants
plans parallèles
avions coïncidents
Il existe deux méthodes pour trouver la position relative entre deux plans : l’une à partir des coefficients des équations générales des deux plans et l’autre en calculant les rangs de deux matrices. Vous trouverez ci-dessous une explication de chaque procédure.
Comment déterminer la position relative de deux plans par des coefficients
Une façon de savoir quelle est la position relative entre deux plans est d’utiliser les coefficients de leurs équations générales (ou implicites).
Soit alors l’équation générale (ou implicite) de deux plans différents :
La position relative entre les deux plans dans l’espace tridimensionnel (dans R3) dépend de la proportionnalité de leurs coefficients ou paramètres :
Par conséquent, les deux plans seront sécants lorsque l’un des coefficients A, B ou C n’est pas proportionnel aux autres. Par contre, les deux plans seront parallèles lorsque seuls les termes indépendants ne seront pas proportionnels. Et enfin, les plans coïncideront lorsque tous les coefficients des deux équations seront proportionnels.
Par exemple, calculons la position relative des deux plans suivants :
Pour savoir de quel type d’avions il s’agit, il faut vérifier quels coefficients sont proportionnels :
Les coefficients A, B et C sont proportionnels entre eux mais pas au coefficient D, donc les deux plans sont parallèles .
Comment calculer la position relative de deux plans par plages
Une autre manière de connaître la position relative de deux plans déterminés consiste à calculer la portée de deux matrices formées par les coefficients desdits plans.
Ainsi, soit l’équation générale (ou implicite) de deux plans différents :
On appelle A la matrice composée des coefficients A, B et C des deux équations :
![\displaystyle A =\begin{pmatrix} A&B&C\\[1.1ex] A&B&C\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37f97413606a79781a34e0664a780b35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Et soit la matrice A’ la matrice développée avec tous les coefficients des deux équations :
![\displaystyle A' =\begin{pmatrix} A&B&C&D\\[1.1ex] A&B&C&D'\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-534e5baa11d1331cda0fa48c167a322f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La position relative des deux plans peut être connue sur la base des plages des deux matrices précédentes :
Que les positions relatives dépendent des rangs de ces deux matrices peut être montré à partir du toerem de Rouché-Frobenius (un théorème utilisé pour résoudre des systèmes d’équations linéaires). Cependant, sur cette page nous ne ferons pas la démonstration car il n’est pas nécessaire de la connaître et elle n’apporte pas grand chose non plus.
Pour que vous puissiez voir comment cela se fait, nous allons calculer la position relative entre les deux plans suivants :
La première chose à faire est de construire la matrice A et la matrice étendue A’ avec les coefficients des équations des deux plans :
![\displaystyle A =\begin{pmatrix} 2&3&-1\\[1.1ex] 3&-4&0\end{pmatrix} \qquad \qquad A' =\begin{pmatrix} 2&3&-1&1\\[1.1ex] 3&-4&0&2\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5cfb4d05d76542970c1f7db9ef1b31a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Et maintenant, nous devons calculer le rang de chaque matrice. On trouve d’abord l’étendue de la matrice A par déterminants :
![\displaystyle \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 3&-4\end{vmatrix} =-17\neq 0](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ad5c0df1a15c695be7c0c5c71304cc8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La matrice A contient une sous-matrice 2×2 dont le déterminant est différent de zéro, c’est donc une matrice de rang 2.
D’autre part, il faut aussi calculer le rang de la matrice A’. Et le rang de la matrice étendue A’ sera toujours au moins le même que celui de la matrice A, donc, dans ce cas précis le rang de la matrice A’ est aussi égal à 2.
Pour que les étendues des deux matrices soient équivalentes et de valeur 2, donc, les deux plans se coupent .
Problèmes résolus de la position relative de deux plans
Exercice 1
Etudiez la position relative des deux plans suivants :
Pour calculer la position relative entre les deux plans, nous allons voir si les coefficients des équations des deux plans sont proportionnels :
Tous les coefficients des équations implicites des deux plans sont proportionnels entre eux, ce sont donc deux plans coïncidents .
Exercice 2
Déterminez la position relative des deux plans suivants :
Afin de déterminer la position relative entre les deux plans, nous allons analyser la proportionnalité des coefficients de leurs équations :
Les coefficients A et C des équations implicites des deux plans sont proportionnels entre eux, mais pas au coefficient B. Ce sont donc deux plans sécants .
Exercice 3
Trouver la position relative des 2 plans suivants :
Pour déterminer la position relative entre les deux plans, il faut vérifier si les coefficients des équations des deux plans sont proportionnels :
Les trois premiers paramètres (A, B et C) des équations des deux plans sont proportionnels entre eux mais pas au paramètre D, donc les deux plans sont parallèles .
Exercice 4
Calculer la valeur du paramètre
de sorte que les deux plans suivants soient parallèles :
Pour que les deux plans soient parallèles, les coefficients A, B et C dans leurs équations doivent être proportionnels. Autrement dit, l’égalité suivante doit être vérifiée :
Dans ce cas particulier, les coefficients A et B du premier plan sont la moitié de ceux du second plan :
Par conséquent, nous devons résoudre l’équation ci-dessus. Et, pour ce faire, on croise les deux fractions :
Donc la valeur du paramètre
doit être égal à 10.